Необходимо определить фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно расстояние от объекта до линзы и расстояние от изображения до линзы.

Дано:

• Расстояние от объекта до линзы: 15 см
• Расстояние от изображения до линзы: -6 см (отрицательное, так как изображение для рассеивающей линзы виртуальное)

Решение:

Используем формулу линзы:

1/f = 1/dо + 1/dи

Подставляем известные значения:

1/f = 1/15 + 1/(-6)

Выполняем вычисления:

1/f = 1/15 - 1/6 = 2/30 - 5/30 = -3/30 = -1/10

Таким образом, фокусное расстояние:

f = -10 см

Ответ:

Фокусное расстояние рассеивающей линзы равно -10 см.

Нужно найти фокусное расстояние линзы, если известно расстояние от объекта до линзы и высоты изображений при разных расстояниях.

Дано:

• Расстояние от объекта до линзы 1: 36 см, высота изображения 1: 10 см
• Расстояние от объекта до линзы 2: 24 см, высота изображения 2: 20 см

Решение:

Используем формулу для увеличения изображения, которая связана с расстоянием объекта и изображения:

M = -dи / dо = hи / hо

Для первого случая:

M1 = hи1 / hо1 = 10 / 36 = 0.2778

Таким образом, увеличение первого случая: \( M_1 = -d_{\text{и1}} / d_{\text{о1}} = 0.2778 \). Теперь выразим \( d_{\text{и1}} \):

dи1 = -M1 * dо1 = -0.2778 * 36 = -10 см

Для второго случая:

M2 = hи2 / hо2 = 20 / 24 = 0.8333

Таким образом, увеличение второго случая: \( M_2 = -d_{\text{и2}} / d_{\text{о2}} = 0.8333 \). Теперь выражаем \( d_{\text{и2}} \):

dи2 = -M2 * dо2 = -0.8333 * 24 = -20 см

Находим фокусное расстояние линзы:

Теперь используем уравнение линзы для двух случаев, чтобы найти фокусное расстояние:

1/f = 1/dо1 + 1/dи1 = 1/36 + 1/(-10) = 1/36 - 1/10 = (-5 + 18) / 180 = 13/180

f = 180 / 13 ≈ 12 см

Ответ:

Фокусное расстояние линзы равно 12 см.

Задача: При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием b см получают мнимое изображение рассматриваемой монеты на расстоянии 18 см от линзы. На каком расстоянии от линзы размещена монета?

Решение

Используем формулу тонкой линзы:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂

где:

• f — фокусное расстояние линзы (в данном случае f = b),
• d₁ — расстояние от линзы до объекта (монеты),
• d₂ — расстояние от линзы до мнимого изображения (d₂ = 18 см).

1. Подставляем значения

Мы знаем, что изображение мнимое, значит расстояние до изображения будет отрицательным (по знаковой конвенции). Таким образом:

1 / b = 1 / d₁ - 1 / 18

2. Решаем относительно d₁

Перепишем уравнение:

1 / d₁ = 1 / b + 1 / 18

Теперь можно выразить d₁:

d₁ = 1 / (1 / b + 1 / 18)

3. Подставляем значения

Для получения точного значения d₁, необходимо подставить конкретное значение фокусного расстояния линзы b.

Задача: Рассматривая предмет в собирающую линзу и располагая его на расстоянии 4 см от нее, получают его мнимое изображение, в 5 раз большее самого предмета. Какова оптическая сила линзы?

Решение

Известно, что:

• Расстояние от линзы до объекта: d₁ = 4 см,
• Изображение мнимое и увеличенное в 5 раз: h₂ = 5 * h₁,
• Нам нужно найти оптическую силу линзы.

1. Используем формулу увеличения для мнимого изображения:

Увеличение: h₂ / h₁ = - d₂ / d₁, где d₂ — расстояние от линзы до мнимого изображения.

Подставим значения: 5 = - d₂ / 4, отсюда d₂ = -20 см.

2. Используем формулу тонкой линзы:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂.

Подставляем значения: 1 / f = 1 / 4 - 1 / 20.

Приводим к общему знаменателю: 1 / f = 5 / 20 - 1 / 20 = 4 / 20, отсюда f = 5 см.

3. Определяем оптическую силу линзы:

Оптическая сила: Φ = 1 / f, где f = 5 см = 0.05 м.

Оптическая сила: Φ = 1 / 0.05 = 20 диоптрий.

Ответ:

Оптическая сила линзы равна 20 диоптрий.

Задача: На каком расстоянии от линзы с фокусным расстоянием 12 см надо поставить предмет, чтобы его действительное изображение было втрое больше самого предмета?

Решение

Известно:

• Фокусное расстояние линзы: f = 12 см,
• Увеличение изображения: M = 3.

1. Используем формулу увеличения:

Увеличение связано с расстоянием объекта d₁ и расстоянием изображения d₂ через формулу:

M = d₂ / d₁, где M = 3. Отсюда:

d₂ = 3 * d₁.

2. Используем формулу тонкой линзы:

Для тонкой линзы выполняется следующее уравнение:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂.

Подставляем d₂ = 3 * d₁:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / (3 * d₁) = 4 / (3 * d₁).

3. Подставляем известные значения:

Подставляем f = 12 см в уравнение:

1 / 12 = 4 / (3 * d₁).

Решаем относительно d₁:

3 * d₁ = 4 * 12

3 * d₁ = 48

d₁ = 16 см

Ответ:

Предмет нужно расположить на расстоянии 16 см от линзы.

Задача: Определить оптическую силу рассеивательной линзы, если известно, что предмет, помещенный перед ней на расстоянии 40 см, дает мнимое изображение, уменьшенное в 4 раза.

Решение

Известно:

• Расстояние от линзы до объекта: d₁ = 40 см,
• Увеличение изображения: M = -1/4 (мнимое изображение, уменьшенное в 4 раза).

1. Используем формулу увеличения:

Увеличение связано с расстоянием объекта d₁ и расстоянием изображения d₂ через формулу:

M = d₂ / d₁.

Подставляем значения: -1/4 = d₂ / 40, отсюда d₂ = -10 см.

2. Используем формулу тонкой линзы:

Для тонкой линзы выполняется следующее уравнение:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂.

Подставляем d₁ = 40 см и d₂ = -10 см:

1 / f = 1 / 40 - 1 / 10 = -3 / 40.

Таким образом, f = -40 / 3 ≈ -13.33 см.

3. Определяем оптическую силу:

Оптическая сила линзы: Φ = 1 / f.

Подставляем значение f = -13.33 см = -0.1333 м:

Φ = 1 / -0.1333 ≈ -7.5 диоптрий.

Ответ:

Оптическая сила рассеивательной линзы равна -7.5 диоптрий.

Задача: Предмет помещен на расстоянии 4F от линзы. Во сколько раз изображение его на экране меньше самого предмета?

Решение

Известно, что:

• Расстояние от линзы до объекта: d₁ = 4F,
• Нужно найти, во сколько раз изображение будет меньше объекта.

1. Используем формулу тонкой линзы:

Для тонкой линзы выполняется следующее уравнение:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂.

Подставляем d₁ = 4F:

1 / F = 1 / 4F + 1 / d₂.

Решаем относительно d₂:

1 / d₂ = 1 / F - 1 / 4F = 3 / 4F, отсюда d₂ = 4F / 3.

2. Находим увеличение:

Увеличение изображения связано с расстоянием объекта d₁ и расстоянием изображения d₂:

M = d₂ / d₁ = (4F / 3) / (4F) = 1 / 3.

Ответ:

Изображение будет в 3 раза меньше объекта.

Задача: Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где надо поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить на экране отчетливое изображение предмета?

Решение

Известно:

• Расстояние от предмета до экрана: d₁ + d₂ = 90 см,
• Фокусное расстояние линзы: f = 20 см.

1. Используем формулу для тонкой линзы:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂.

Также известно, что d₁ + d₂ = 90 см. Подставим d₂ = 90 - d₁ в уравнение линзы:

1 / 20 = 1 / d₁ + 1 / (90 - d₁).

2. Решаем квадратное уравнение:

После преобразований получаем квадратное уравнение:

d₁² - 90 d₁ + 1800 = 0.

Решая его, получаем два возможных значения для d₁:

d₁ = 60 см или d₁ = 30 см.

Ответ:

Линзу нужно разместить на расстоянии 60 см от предмета или 30 см от экрана.

Известно:

• Расстояние от предмета до экрана: d₁ + d₂ = 3 м,
• Увеличение изображения: M = 5.

1. Находим расстояние от линзы до объекта:

Используем формулу увеличения: M = d₂ / d₁.

Таким образом, d₂ = 5 * d₁, и d₁ + d₂ = 3. Подставляем:

d₁ + 5 * d₁ = 3, отсюда d₁ = 0.5 м, и d₂ = 2.5 м.

2. Находим оптическую силу линзы:

Используем формулу тонкой линзы:

1 / f = 1 / d₁ + 1 / d₂, подставляем значения d₁ = 0.5 м и d₂ = 2.5 м:

1 / f = 1 / 0.5 + 1 / 2.5 = 2 + 0.4 = 2.4, отсюда f ≈ 0.417 м.

3. Оптическая сила:

Оптическая сила: Φ = 1 / f = 1 / 0.417 ≈ 2.4 диоптрии.

Ответ:

Оптическая сила линзы: 2.4 диоптрии, линзу нужно разместить на расстоянии 0.5 м от предмета.

Задача: Имеются две линзы, у одной оптическая сила d₁, у другой — d₂. Их сложили вплотную. Выясните, какова оптическая сила системы.

Решение

Оптическая сила системы линз, сложенных вплотную, определяется как сумма оптических сил этих линз:

Φ₁ = d₁, Φ₂ = d₂, тогда:

Φₛ = Φ₁ + Φ₂ = d₁ + d₂.

Ответ:

Оптическая сила системы линз равна d₁ + d₂.

Задача: Ученик привык читать книгу, держа её на расстоянии 20 см от глаз. Какова должна быть оптическая сила очков, которые должен носить ученик, чтобы читать книгу, держа её на расстоянии наилучшего зрения 25 см?

Решение

Известно:

• Расстояние от книги до глаз ученика: d₁ = 20 см,
• Расстояние наилучшего зрения: d₀ = 25 см.

1. Используем формулу для тонкой линзы:

Для того чтобы ученик видел книгу четко на расстоянии d₁ = 20 см, линза должна создать мнимое изображение на расстоянии d₀ = 25 см.

Используем формулу: 1 / f = 1 / d₁ - 1 / d₀.

Подставляем значения:

1 / f = 1 / 20 - 1 / 25 = 1 / 100, отсюда f = 100 см.

2. Определяем оптическую силу линзы:

Оптическая сила линзы: Φ = 1 / f = 1 / 1 = 1 диоптрия.

Ответ:

Оптическая сила очков должна быть 1 диоптрия.

За­пи­шем фор­му­лу со­би­ра­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,6 м.

За­пи­шем фор­му­лу со­би­ра­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,22 м.

За­пи­шем фор­му­лу рас­се­и­ва­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 7 см.

За­пи­шем фор­му­лу рас­се­и­ва­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Так как линза рас­се­и­ва­ю­щая, то D = - 3,75 дптр.

Ответ: –3,75 дптр.

За­пи­шем фор­му­лу со­би­ра­ю­щей линзы для дей­стви­тель­но­го изоб­ра­же­ния, да­ва­е­мо­го лин­зой:

При этом уве­ли­че­ние равно от­ку­да рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния

Тогда по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,24 м.

За­пи­шем фор­му­лу рас­се­и­ва­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

При этом уве­ли­че­ние равно от­ку­да рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния

Тогда по­лу­ча­ем:

Ответ: 1 м.

За­пи­шем фор­му­лу рас­се­и­ва­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

Тогда по­лу­ча­ем:

При этом уве­ли­че­ние равно от­ку­да вы­со­та изоб­ра­же­ния

Ответ: 16 см; 6 см.

Так как уве­ли­че­ние линзы равно то рас­сто­я­ние от линзы до пред­ме­та равно

от­ку­да

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

При­ме­ним фор­му­лу для рас­се­и­ва­ю­щей линзы, да­ю­щей мни­мое изоб­ра­же­ние:

от­ку­да

Так как линза рас­се­и­ва­ю­щая, то

Ответ: –8,3 дптр.

Со­би­ра­ю­щая линза может да­вать уве­ли­чен­ное дей­стви­тель­ное и уве­ли­чен­ное мни­мое изоб­ра­же­ние. Рас­смот­рим оба слу­чая:

1)  Линза дает дей­стви­тель­ное изоб­ра­же­ние. По усло­вию за­да­чи уве­ли­че­ние линзы от­ку­да по­лу­ча­ем:

Тогда При­ме­ним фор­му­лу со­би­ра­ю­щей линзы:

2)  Линза дает мни­мое изоб­ра­же­ние. По усло­вию за­да­чи уве­ли­че­ние линзы от­ку­да по­лу­ча­ем:

Тогда При­ме­ним фор­му­лу со­би­ра­ю­щей линзы:

Ответ: Если изоб­ра­же­ние дей­стви­тель­но, то 13,5 см; если изоб­ра­же­ние мни­мое, то 54 см.