Решение задач 10-11 класс |

Задача 3203

Ракета движется со скоростью 2,2 · 10⁵ км/с относительно неподвижного наблюдателя. Текущий контроль систем ракеты космонавты выполнили за 5 ч. Определите, сколько времени длился контроль по часам наблюдателя.

Задача 3204

Протон и нейтрон движутся навстречу друг другу со скоростями 2,1 · 10⁵ км/с и 1,5 · 10⁵ км/с соответственно. Определите скорость движения протона относительно нейтрона по классической и релятивистской формулам сложения скоростей. Какой вывод можно сделать?

1. Классическая формула сложения скоростей:

Используем классическую формулу сложения скоростей:

\[ v_{\text{класс}} = v_1 + v_2. \]

Подставляем значения:

\[ v_{\text{класс}} = 2.1 \times 10^5 + 1.5 \times 10^5 = 3.6 \times 10^5 \, \text{км/с}. \]

2. Релятивистская формула сложения скоростей:

Используем релятивистскую формулу сложения скоростей:

\[ v_{\text{релятив}} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}. \]

Подставляем значения:

\[ v_{\text{релятив}} = \frac{2.1 \times 10^5 + 1.5 \times 10^5}{1 + \frac{(2.1 \times 10^5)(1.5 \times 10^5)}{(3 \times 10^5)^2}}. \]

Вычисляем знаменатель:

\[ \frac{(2.1 \times 10^5)(1.5 \times 10^5)}{(3 \times 10^5)^2} = \frac{3.15 \times 10^{10}}{9 \times 10^{10}} = 0.35. \]

Теперь подставим в формулу:

\[ v_{\text{релятив}} = \frac{3.6 \times 10^5}{1 + 0.35} = \frac{3.6 \times 10^5}{1.35} \approx 2.67 \times 10^5 \, \text{км/с}. \]

Ответ:

Классическая скорость: $ v_{\text{класс}} = 3.6 \times 10^5 \, \text{км/с}. $
Релятивистская скорость: $ v_{\text{релятив}} \approx 2.67 \times 10^5 \, \text{км/с}. $

Вывод:

При скоростях, близких к скорости света, следует использовать релятивистскую формулу сложения скоростей, так как классическая формула завышает результат. Релятивистская формула дает более точный результат.

Задача 3205

При какой скорости движения кинетическая энергия тела в 3 раза превышает энергию покоя?

1. Энергия покоя:

Энергия покоя тела вычисляется как:

\[ E_{\text{покоя}} = m_0 c^2, \]

где $ E_{\text{покоя}} $ — энергия покоя, $ m_0 $ — масса покоя, и $ c $ — скорость света.

2. Кинетическая энергия:

Кинетическая энергия тела выражается как:

\[ E_{\text{кин}} = (\gamma - 1) m_0 c^2, \]

где $ \gamma $ — фактор Лоренца, который равен:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

3. Условие задачи:

Нам дано, что кинетическая энергия в 3 раза больше энергии покоя:

\[ E_{\text{кин}} = 3 E_{\text{покоя}}. \]

4. Решение:

Подставим это в уравнение для кинетической энергии:

\[ (\gamma - 1) m_0 c^2 = 3 m_0 c^2. \]

После упрощения:

\[ \gamma - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad \gamma = 4. \]

Теперь, зная, что $ \gamma = 4 $, подставим в выражение для $ \gamma $:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 4. \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ 16 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}. \]

Выражаем $ v^2 $:

\[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{16} \quad \Rightarrow \quad \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}. \]

Теперь вычислим скорость $ v $:

\[ v = c \sqrt{\frac{15}{16}} = c \times \frac{\sqrt{15}}{4}. \]

Подставим $ c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} $:

\[ v \approx 3 \times 10^8 \times \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 2.904 \times 10^8 \, \text{м/с}. \]

Ответ:

Скорость, при которой кинетическая энергия тела в 3 раза превышает его энергию покоя, составляет примерно $ 2.904 \times 10^8 \, \text{м/с} $.

Задача 3206

Найдите кинетическую энергию космического аппарата с массой покоя 10 т, движущегося со скоростью 0,9 с.

Задача 3207

На сколько изменяется масса покоя 1 кг льда при плавлении?

Задача 3208

В результате ядерной реакции масса покоя вещества уменьшается на 0,1%. Какая энергия выделяется в результате использования 1 г ядерного топлива?

Задача 3209

Солнечная постоянная (плотность потока излучения Солнца вблизи верхней границы атмосферы Земли) равна 1,36 кВт/м². На какую величину ежесекундно уменьшается масса Солнца вследствие излучения?

Задача 3210

Какую скорость приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов $U = 500кВ?$ Какую скорость приобретает протон, пройдя такую же ускоряющую разность потенциалов?

Задача 3212

С ракеты, скорость которой относительно Земли равна 0,9 с, выпустили вперед и назад снаряды со скоростью 0,5 с относительно ракеты. Какова скорость снарядов относительно Земли?

Задача 3213

Какова энергия покоя 1 г любого вещества?

Задача 3214

Найдите полную энергию космического аппарата с массой покоя 10 т, движущегося со скоростью 0,9 с.

Задача 3215

Две частицы удаляются от наблюдателя со скоростями 0,7 с в противоположные стороны. Какова скорость частиц друг относительно друга?

Задача 3216

Полная энергия тела в 1,5 раза превышает энергию покоя этого тела. Во сколько раз кинетическая энергия тела отличается от энергии покоя?

Задача 3217

На сколько изменяется масса покоя 10 кг воды при охлаждении от 100 °С до 0 °С?

Задача 3218

На сколько изменяется масса покоя пружины с жесткостью 5 кН/м при сжатии на 10 см?

Задача 3219

При какой скорости движения кинетическая энергия протона равна: а) энергии покоя протона; б) энергии покоя электрона?

Задача 3220

При какой скорости движения длина стержня «сокращается» втрое?

Задача 3221

Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движущейся относительно Земли со скоростью 0,999 с, пройдет 1 год?

Задача 3222

Какое среднее расстояние проходят от рождения до распада частицы, среднее время жизни которых (в «собственной» системе отсчета) 3 мкс, движущиеся со скоростью 0,8 с?