Рас­смот­рим пер­вое усло­вие рав­но­ве­сия лест­ни­цы:

В про­ек­ция на оси:

Учтем, что сила тре­ния равна

За­пи­шем пра­ви­ло мо­мен­тов от­но­си­тель­но точки O

Объ­еди­няя все урав­не­ния, по­лу­ча­ем:

Ответ: 42°.

За­пи­шем пер­вое усло­вие рав­но­ве­сия лест­ни­цы

Най­дем про­ек­ции урав­не­ния на ко­ор­ди­нат­ные оси

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Решая си­сте­му этих урав­не­ния, на­хо­дим силы ре­ак­ции опоры лест­ни­цы и пола:

За­пи­сы­ва­ем пра­ви­ло мо­мен­тов от­но­си­тель­но точки опоры лест­ни­цы на пол:

Под­ста­вив в вы­ра­же­ние фор­му­лу силы ре­ак­ции опоры о стену, вы­ра­жа­ем ис­ко­мую вы­со­ту:

Ответ: h  =  2,4 м.

Раз­де­лим фи­гу­ру на две  —пря­мо­уголь­ник и рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник. Най­дем цен­тры тя­же­сти этих фигур. Центр тя­же­сти пря­мо­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся на пе­ре­се­че­нии диа­го­на­лей и лежит на рас­сто­я­нии 100 мм от ле­во­го края и на рас­сто­я­нии 50 мм от верх­не­го края. Центр тя­же­сти рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка уда­лен от вер­ши­ны на

Най­дем массы каж­дой части:

где d  — тол­щи­на пла­сти­ны. За­пи­шем пра­ви­ло мо­мен­тов

Центр тя­же­сти пла­сти­ны на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии при­бли­зи­тель­но 186 мм от ле­во­го края пла­сти­ны.

Ответ: на рас­сто­я­нии 186 мм от ле­во­го края пла­стин­ки на линии, яв­ля­ю­щей­ся про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны ее тре­уголь­ной части.

Если вста­вить вы­ре­зан­ную часть пла­стин­ки на преж­нее место, то силу тя­же­сти круга можно пред­ста­вить как сумму двух па­рал­лель­ных сил  — силы тя­же­сти вы­ре­зан­ной части и силы тя­же­сти остав­шей­ся части

Тогда пра­ви­ло мо­мен­тов от­но­си­тель­но точки О имеет вид:

Учи­ты­вая, что пла­стин­ка од­но­род­ная (оди­на­ко­вая плот­ность во всех ча­стях пла­стин­ки), масса равна а объем на­хо­дит­ся как про­чем, тол­щи­на од­но­род­ной пла­сти­ны оди­на­ко­ва во всех точ­ках. Тогда по­лу­ча­ем:

Пло­щадь вы­ре­зан­ной части равна пло­щадь остав­шей­ся части

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Если вста­вить вы­ре­зан­ную часть пла­стин­ки на преж­нее место, то силу тя­же­сти круга можно пред­ста­вить как сумму двух па­рал­лель­ных сил  — силы тя­же­сти вы­ре­зан­ной части и силы тя­же­сти остав­шей­ся части

Тогда пра­ви­ло мо­мен­тов от­но­си­тель­но точки О имеет вид:

Учи­ты­вая, что пла­стин­ка од­но­род­ная (оди­на­ко­вая плот­ность во всех ча­стях пла­стин­ки), масса равна а объем на­хо­дит­ся как про­чем, тол­щи­на од­но­род­ной пла­сти­ны оди­на­ко­ва во всех точ­ках. Тогда по­лу­ча­ем:

Пло­щадь вы­ре­зан­ной части равна пло­щадь остав­шей­ся части

Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми тя­же­сти вы­ну­то­го диска и квад­ра­та равно

Тогда центр тя­же­сти пла­сти­ны на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии

Ответ: