1)  Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой: От­сю­да ра­ди­ус окруж­но­сти, по ко­то­рой дви­га­ет­ся тело:

2)   Пе­ри­од об­ра­ще­ния равен с дру­гой сто­ро­ны Тогда число обо­ро­тов най­дем по фор­му­ле:

То есть тело успе­ет со­вер­шить 14 пол­ных обо­ро­тов.

Ответ: 1)  1,21 м; 2)  14.

1)  Ско­рость камня ме­ня­ет­ся ли­ней­но со вре­ме­нем: От­сю­да время раз­го­на камня:

2)  За­пи­шем закон дви­же­ния камня:

Ответ: 1)  0,15 с; 2)  18,75 см.

1)  На си­сте­му тел из горки и брус­ка не дей­ству­ют го­ри­зон­таль­ные силы. По­это­му вдоль го­ри­зон­таль­ной оси им­пульс си­сте­мы тел со­хра­ня­ет­ся: От­сю­да ско­рость брус­ка на по­верх­но­сти стола со­став­ля­ет:

2)  Так как си­сте­ма за­мкну­та и тре­ние в ней от­сут­ству­ет, то её пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия со­хра­ня­ет­ся. За­пи­шем закон со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии для си­сте­мы тел:

От­сю­да по­лу­ча­ем мак­си­маль­ную вы­со­ту под­ня­тия брус­ка:

Ответ: 1)  5,5 м/с; 2)  1,38 м.

1)  За­пи­шем урав­не­ние мо­мен­тов при­ло­жен­ных сил от­но­си­тель­но точки опоры балки.

От­сю­да не­об­хо­ди­мая сила:

2)  Сила ре­ак­ции опоры со сто­ро­ны брев­на урав­но­ве­ши­ва­ет осталь­ные силы, дей­ству­ю­щие на балку:

N  =  mg + Mg + F  =  2866,7 Н.

Ответ: 1)  566,7 Н; 2)  2866,7 Н.

1)  За­пи­шем урав­не­ние мо­мен­тов от­но­си­тель­но точки опоры балки.

От­сю­да не­об­хо­ди­мая сила:

2)  Сила ре­ак­ции опоры со сто­ро­ны брев­на урав­но­ве­ши­ва­ет осталь­ные силы, дей­ству­ю­щие на балку:

N  =  mg + Mg + F  =  2866,7 Н.

Ответ: 1)  566,7 Н; 2)  2866,7 Н.

1)  Про­ек­ция уско­ре­ния тела за пер­вые 2 с дви­же­ния равна

2)  В те­че­ние пер­вой се­кун­ды дви­же­ния про­ек­ция уско­ре­ния а_x была такой же, как и за пер­вые две се­кун­ды. Мо­дуль про­ек­ции силы по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на

Ответ: 1) 2 м/с²; 2) 4 Н.

1)  Про­ек­ция уско­ре­ния тела равна

2)  Мо­дуль про­ек­ции силы по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на

Ответ: 1) 4 м/с²; 2) 8 Н.

1)  Про­ек­ция уско­ре­ния лифта равна

2)  Так как про­ек­ция уско­ре­ния от­ри­ца­тель­ная, то при подъ­еме вер­ти­каль­но вверх век­тор уско­ре­ния на­прав­лен вер­ти­каль­но вниз. На лифт дей­ству­ют силы: сила тя­же­сти, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вниз, и сила на­тя­же­ния троса, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вверх. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на

В про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось:

от­ку­да на­хо­дим силу на­тя­же­ния троса:

Ответ: 1) – 0,2 м/с²; 2) 7840 Н.

1)  Ско­рость груза ли­ней­но ме­ня­ет­ся, а зна­чит, он дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем

По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на В про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось

Тогда сила на­тя­же­ния троса равна

Ответ: 1) 2 м/с²; 2) 1200 Н.

1)  На бру­сок дей­ству­ют силы: сила дав­ле­ния на бру­сок, сила тя­же­сти, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вниз, сила тре­ния, на­прав­лен­ная про­тив дви­же­ния, сила ре­ак­ции опоры, на­прав­лен­ная впра­во. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на при дви­же­нии брус­ка без уско­ре­ния

В про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось

от­ку­да сиа ре­ак­ции опоры

2)  В про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось

от­ку­да сила тре­ния

Ответ: 1) 4,3 Н; 2) 3,5 Н.

1)  По­сколь­ку в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии на си­сте­му не дей­ству­ет ни­ка­ких сил, для доски с пла­сти­ли­но­вым ша­ри­ком вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния го­ри­зон­таль­ной ком­по­нен­ты им­пуль­са:

где u  — ско­рость доски с ша­ри­ком сразу после удара. От­сю­да на­хо­дим:

2)  После удара доска с при­лип­шим к ней ша­ри­ком на­чи­на­ет от­кло­нять­ся на нити, как ма­ят­ник. При этом вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния энер­гии, вся ки­не­ти­че­ская энер­гия, ко­то­рой доска об­ла­да­ла в ниж­нем по­ло­же­нии пе­ре­хо­дит в по­тен­ци­аль­ную энер­гию при мак­си­маль­ном от­кло­не­нии:

От­сю­да на­хо­дим ис­ко­мую вы­со­ту подъ­ема доски:

Ответ: 1) 1 м/с; 2) 0,05 м.

1)  За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для двух тел в про­ек­ци­ях на на­прав­лен­ную влево го­ри­зон­таль­ную ось и на­прав­лен­ную вверх вер­ти­каль­ную ось:

где T  — сила на­тя­же­ния нити, име­ю­щая рав­ные мо­ду­ли при дей­ствии на груз и на бру­сок в силу не­рас­тя­жи­мо­сти нити. Уско­ре­ния у гру­зов оди­на­ко­вы, по­сколь­ку со­еди­ня­ю­щая их нить не­рас­тя­жи­ма. С уче­том того, что по­лу­ча­ем:

Масса вто­ро­го брус­ка равна

2)  Сила на­тя­же­ния нити равна

Ответ: 1) 0,5 кг; 2) 6 Н.

1)  По за­ко­ну со­хра­не­ния им­пуль­са:

Про­ек­ция на ось x:

От­ку­да пер­во­на­чаль­ная ско­рость шаров равна

2)  Ки­не­ти­че­ская энер­гия си­сте­мы была равна

Ответ: 1) 1 м/с 2) 0,2 Дж.

1)  По­сколь­ку тело дви­га­лось пря­мо­ли­ней­но, прой­ден­ный путь чис­лен­но равен пло­ща­ди под гра­фи­ком функ­ции ско­ро­сти в за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни. По­сколь­ку тело дви­га­лось рав­но­уско­рен­но, ско­рость за­ви­се­ла от вре­ме­ни ли­ней­но, а по­то­му ис­ко­мая пло­щадь (см. рис.) яв­ля­ет­ся пло­ща­дью тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми υ₀ и υ и вы­со­той t:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем от­ку­да:

2)  Про­ек­ция уско­ре­ния равна

Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль уско­ре­ния равен

Ответ: 1) 15 м/⁠с; 2) 5 м/с².

1)  Учи­ты­вая, что им­пульс те­леж­ки до вза­и­мо­дей­ствия мень­ше им­пуль­са маль­чи­ка, де­ла­ем вывод, что после прыж­ка маль­чи­ка те­леж­ка по­едет в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну. Изоб­ра­зим ско­ро­сти тел до и после вза­и­мо­дей­ствия (см. левый и пра­вый ри­су­нок).

Так как по­верх­ность глад­кая, то си­сте­ма тел за­мкну­тая, можно при­ме­нить закон со­хра­не­ния им­пуль­са:

Вы­бе­рем ось, на­пра­вив ее влево. В про­ек­ции на эту ось:

От­сю­да ско­рость те­леж­ки после вза­и­мо­дей­ствия:

2)  Сум­мар­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия те­леж­ки и маль­чи­ка после его прыж­ка

Ответ: 1) 0,5 м/⁠c; 2) 12,5 Дж.

1)  При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии без на­чаль­ной ско­ро­сти

Тогда уско­ре­ние, с ко­то­рым ехал поезд, равно

2)  Най­дем рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ехал поезд за время 400 с:

Ответ: 1) 0,05 м/с²; 2) 4 км.

1)  Будем счи­тать на­ча­лом от­сче­та точку, когда бегун по­рав­нял­ся с не­по­движ­ным ве­ло­си­пе­ди­стом. Тогда урав­не­ние дви­же­ния бе­гу­на при рав­но­мер­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии имеет вид:

Дви­же­ние ве­ло­си­пе­ди­ста  — рав­но­уско­рен­ное пря­мо­ли­ней­ное без на­чаль­ной ско­ро­сти  — опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем:

В мо­мент встре­чи их ко­ор­ди­на­ты будут оди­на­ко­вы­ми Тогда ве­ло­си­пе­дист до­го­нит бе­гу­на в мо­мент вре­ме­ни:

2)  Ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста в этот мо­мент вре­ме­ни будет рав­ной:

Ответ: 1) 8 с; 2) 8 м/⁠с.

1)  На груз дей­ству­ют сила тя­же­сти mg, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вниз, и сила упру­го­сти, рав­ная по за­ко­ну Гука и на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вверх. При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии вниз по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на

Oy:

Таким об­ра­зом, уско­ре­ние лифта равно

При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии без на­чаль­ной ско­ро­сти В ре­зуль­та­те на­хо­дим:

Ответ: 1) 0,625 м/с²; 2)  м.

1)  Изоб­ра­зим силы, дей­ству­ю­щие на гру­зик. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на в ИСО:

где m  — масса гру­зи­ка, T  — сила на­тя­же­ния нити.

В про­ек­ци­ях на ко­ор­ди­нат­ные оси по­лу­ча­ем:

Ox:

Oy:

Тогда цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние гру­зи­ка

2)  При рав­но­мер­ном дви­же­нии по окруж­но­сти со ско­ро­стью по окруж­но­сти ра­ди­у­сом гру­зик имеет цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние Тогда ско­рость, с ко­то­рой дви­жет­ся гру­зик, равна:

Ответ:1) 17,3 м/с²; 2) 1,5 \ м/с .

1)  Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым за­ко­ном Нью­то­на. Спро­еци­ру­ем все силы дей­ству­ю­щие на бру­сок на вер­ти­каль­ную ось. Бру­сок дви­жет­ся по го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, у него нет вер­ти­каль­ной со­став­ля­ю­щей уско­ре­ния. Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на имеем:

от­ку­да сила ре­ак­ции опоры равна

2)  От­сю­да, для мо­ду­ля силы тре­ния сколь­же­ния имеем:

Ответ: 1) 14 Н; 2) 2,8 Н.

1)  Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым за­ко­ном Нью­то­на. Спро­еци­ру­ем все силы дей­ству­ю­щие на бру­сок на вер­ти­каль­ную ось. Бру­сок дви­жет­ся по го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, у него нет вер­ти­каль­ной со­став­ля­ю­щей уско­ре­ния. Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на имеем:

Мо­дуль силы тре­ния равен От­сю­да, для массы брус­ка имеем:

2)  Тогда сила ре­ак­ции опоры равна

Ответ: 1) 2 кг; 2) 14 Н.

1)  Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым за­ко­ном Нью­то­на. Спро­еци­ру­ем все силы дей­ству­ю­щие на бру­сок на вер­ти­каль­ную ось. Бру­сок дви­жет­ся по го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, у него нет вер­ти­каль­ной со­став­ля­ю­щей уско­ре­ния. Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на имеем:

Тогда сила ре­ак­ции опоры равна

2)  По усло­вию, мо­дуль силы тре­ния равен

От­сю­да, для ко­эф­фи­ци­ен­та тре­ния между брус­ком и плос­ко­стью имеем:

Ответ: 1) 14 Н; 2) 0,2.

1)  Вто­рой закон Нью­то­на для груза в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось при­об­ре­та­ет вид:

2)  Сила на­тя­же­ния нити

Ответ: 1) 0,1; 2) 1,76 Н.

1)  По­сколь­ку нить не­рас­тя­жи­мая, брус­ки дви­га­ют­ся с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем. Не­ве­со­мость нити озна­ча­ет, что на­тя­же­ние нити по­сто­ян­но по всей ее длине, а зна­чит, нить дей­ству­ет на брус­ки с оди­на­ко­вой силой Вы­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для брус­ков в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось, на­прав­лен­ную вверх:

Решая си­сте­му из двух урав­не­ний, на­хо­дим вы­ра­же­ние для уско­ре­ния

2)  Силу на­тя­же­ния нити най­дем из пер­во­го урав­не­ния

Ответ: 1) 2 м/с²; 2) 2,4 Н.

1)  На ящик дей­ствую че­ты­ре силы: сила тя­же­сти, сила ре­ак­ции опоры N, сила на­тя­же­ния нити T и сила тре­ния. По­сколь­ку тело сколь­зит, сила тре­ния  — это сила тре­ния сколь­же­ния, ко­то­рая опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: По­сколь­ку ящик дви­га­ет­ся рав­но­мер­но, его уско­ре­ние равно нулю. Вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную и го­ри­зон­таль­ную оси дает

От­сю­да,

Решая си­сте­му двух по­след­них урав­не­ний сов­мест­но с по­лу­ча­ем, что сила на­тя­же­ния ве­рев­ки равна

2)  Сила ре­ак­ции опоры

Ответ: 1) 470 Н; 2) 593 Н.

1)  Най­дем ско­рость ша­ри­ка в мо­мент про­хож­де­ния по­ло­же­ния рав­но­ве­сия. В по­ло­же­нии рав­но­ве­сия вся по­тен­ци­аль­ная энер­гия ша­ри­ка пе­ре­хо­дит в ки­не­ти­че­скую. Учи­ты­вая, что шарик от­кло­ни­ли от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на 60°, за­пи­шем закон со­хра­не­ния энер­гии:

2)  За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на в мо­мент про­хож­де­ния по­ло­же­ния рав­но­ве­сия:

где   — сила на­тя­же­ния нити.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние с уче­том за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии:

Ответ: 1) 2 м/с; 2) 2Н.

1)  Ука­жем все силы, дей­ству­ю­щие на тело (см. рис.). Сила тре­ния прямо про­пор­ци­о­наль­на силе ре­ак­ции опоры, дей­ству­ю­щей на тело: Най­дем в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось, по­лу­чим:

2)  Най­дем ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между брус­ком и плос­ко­стью:

Ответ: 1) 14 Н; 2) 0,2.

1)  Уско­ре­ние лифта равно

2)  При уста­но­вив­шем­ся дви­же­нии уско­ре­ние груза равно уско­ре­нию лифта, тогда вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось даст

Ответ: 1) 2,5 \ м/с² ; 2) 0,2 кг.

На бру­сок дей­ству­ют че­ты­ре силы: сила сила тя­же­сти, сила тре­ния и сила ре­ак­ции опоры. Вы­бе­рем ось Ox, на­прав­лен­ную впра­во, и ось Oy, на­прав­лен­ную вверх, и за­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ци­ях на эти оси:

по­это­му

2)  Сила ре­ак­ции опоры равна

Ответ: 1) 0,7 кг; 2) 8,35 Н.

1)  По­сколь­ку поезд от­хо­дит от стан­ции, то его на­чаль­ная ско­рость Зна­чит, к концу про­хож­де­ния пер­во­го участ­ка его ско­рость равна Дви­же­ние по­ез­да рав­но­уско­рен­ное. На пер­вом участ­ке пути от­ку­да

2)  Весь путь, прой­ден­ный из со­сто­я­ния покоя, Тогда время раз­го­на по­ез­да равно:

Ответ: 1) 0,05 м/с²; 2) 400 с.

1)  Бру­сок не дви­жет­ся вдоль вер­ти­каль­ной оси. По­это­му сумма про­ек­ций на эту ось сил, дей­ству­ю­щих на бру­сок, равна нулю:

2)  За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для брус­ка в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось: От­сю­да для уско­ре­ния по­лу­ча­ем:

Ответ: 1) N  =  20,0 Н; 2) 9,3 м/с².