Решение задач ЕГЭ |

Задача 10661

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, конденсатор емкостью С = 4 мкФ в начальный момент заряжен до напряжения U = 100 В, а оба ключа разомкнуты. Замкнув ключ К₁, к конденсатору подключили цепочку из двух последовательно соединенных катушек с одинаковой индуктивностью L = 20 мГн, в результате чего в цепи возникли гармонические колебания. В момент, когда сила тока в цепи при этих колебаниях обратилась в ноль, замкнули ключ К₂. Как и на сколько изменилась после этого амплитуда колебаний силы тока в цепи?

Решение.

1.  Поскольку после замыкания ключа К₁ возникшие в цепи колебания являются по условию гармоническими, то потерь в цепи нет, сопротивлением проводов и катушек можно пренебречь и энергия колебаний сохраняется.

2.  Электрическая энергия заряженного конденсатора CU²/2 через половину периода колебаний превращается в энергию магнитного поля катушек индуктивности, равную при их последовательном соединении

(L + L)I₁²/2 = LI₁²,

где I₁  — амплитуда колебаний силы тока в цепи:

$CU в квадрате /2=LI_1 в квадрате ,$ и $I_1=U корень из: начало аргумента: дробь: числитель: C, знаменатель: 2L конец дроби конец аргумента =1$ А.

3.  В тот момент, когда сила тока в цепи обращается в ноль, вся энергия колебаний снова оказывается сосредоточенной в конденсаторе. В этот момент замыкают ключ К₂, что приводит к скачкообразному уменьшению индуктивности в цепи с 2L до L без потерь энергии.

4.  В дальнейшем энергия при гармонических колебаниях периодически, с уменьшенным периодом колебаний, колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности, причем

CU²/2 = LI₂²/2,

где I₂  — новая амплитуда колебаний силы тока в цепи.

Таким образом, $LI_2 в квадрате /2=LI_1 в квадрате , I_2 в квадрате =2I_1 в квадрате$ и $I_2= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента I_1\approx1,41$ А. Следовательно, амплитуда увеличилась с 1 А до 2 А ≈ 1,41 А, то есть примерно на 0,41 А.

Ответ: амплитуда увеличилась на ≈ 0,41 А.

Задача 1627

В колебательном контуре из конденсатора электроемкостью 2 мкФ и катушки происходят свободные электромагнитные колебания с циклической частотой $\omega = 1000с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Амплитуда колебаний силы тока в контуре 0,01 А. Чему равна амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе? Ответ приведите в вольтах.

Задача 1628

В колебательном контуре из конденсатора и катушки индуктивностью 0,5 Гн происходят свободные электромагнитные колебания с циклической частотой $\omega = 1000с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Амплитуда колебаний силы тока в контуре 0,01 А. Чему равна амплитуда колебаний напряжения на катушке? Ответ приведите в вольтах.

Задача 16873

В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $\mathcalE = 3В,$ r = 2 Ом, L = 1 мГн, С = 50 мкФ. В момент t = 0 ключ К размыкают. Каково напряжение U на конденсаторе в момент, когда в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний сила тока в контуре I = 1 А? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.

Задача 17677

В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $\mathcalE = 6В,$ r = 2 Ом, L = 1 мГн. момент t = 0 ключ К размыкают. В момент, когда в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника, сила тока в контуре I = 2,4 А. Найдите емкость конденсатора С. Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.

Задача 1902

В двух идеальных колебательных контурах происходят незатухающие электромагнитные колебания. Амплитудное значение силы тока в первом контуре 3 мА. Каково амплитудное значение силы тока во втором контуре, если период колебаний в нем в три раза больше, а максимальное значение заряда конденсатора в 6 раз больше, чем в первом? Ответ приведите в миллиамперах.

Задача 1909

Емкость конденсатора в колебательном контуре равна 50 мкФ. Зависимость силы тока в катушке индуктивности от времени имеет вид: $I=I_0 синус \omega t,$ где $I_0=1,5A$ и $\omega =500с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Найдите амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе. Ответ приведите в вольтах.

Задача 19813

В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью C  =  0,1 Ф и катушки индуктивностью L  =  0,4 Гн, параллельно конденсатору включен идеальный вольтметр, показывающий напряжение и его знак, а последовательно с катушкой  — идеальный амперметр, показывающий ток в цепи и его знак (см. рис.). В начале колебательного процесса вольтметр показывал напряжение U₀  =  +40 В, а ток в контуре был равен нулю. Спустя некоторое время вольтметр первый раз стал показывать напряжение U₁  =  –20 В. Какой ток I₁ при этом показывал амперметр? Положительное направление тока соответствует тому, которое бывает при разрядке конденсатора от максимального положительного значения напряжения на нем.

Задача 24375

В двух идеальных колебательных контурах происходят незатухающие электромагнитные колебания. Максимальное значение заряда конденсатора во втором контуре равно 6 мкКл. Амплитуда колебаний силы тока в первом контуре в 2 раза меньше, а период его колебаний в 3 раза меньше, чем во втором контуре. Определите максимальное значение заряда конденсатора в первом контуре. Ответ дайте в микрокулонах.

Задача 25258

В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Сила тока I в этом контуре изменяется с течением времени t по следующему закону: $I левая круглая скобка t правая круглая скобка =6 косинус левая круглая скобка 2 умножить на 10 в степени 4 умножить на t плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$ В этой формуле все величины приведены в СИ. Чему был равен заряд конденсатора в момент времени t  =  0? Ответ запишите в микрокулонах.

Задача 3036

В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности $I_m=5мА,$ а амплитуда напряжения на конденсаторе $U_m=2,0В.$ В момент времени t напряжение на конденсаторе равно $1,2В.$ Найдите силу тока в катушке в этот момент.

Задача 30507

Входной колебательный LC-контур радиоприемника, служащий для выделения из радиоэфира сигналов с определенными длинами волн λ, состоит из конденсатора и катушки индуктивности, содержащей N₁ одинаковых параллельных витков. Модуль вектора индукции магнитного поля каждого витка прямо пропорционален силе тока, протекающего через виток. Витки расположены так близко друг к другу, что линии индукции поля, создаваемого одним витком, пронизывают всю катушку. Вначале контур был настроен на прием радиопередач с длиной волны λ₁  =  32 м. Затем часть витков катушки закоротили, и полное число ее витков уменьшилось до N₂  =  N₁/2. Как и на сколько при этом изменилась длина волны принимаемых сигналов? Можно считать, что в катушке индуктивности магнитные поля каждого витка с током одинаковы, и полный магнитный поток проходит через каждый виток.

Задача 30537

Входной колебательный LC-контур радиоприемника, служащий для выделения из радиоэфира сигналов с определенными частотами υ, состоит из конденсатора и катушки индуктивности, содержащей N₁ одинаковых параллельных витков. Модуль вектора индукции магнитного поля каждого витка прямо пропорционален силе тока, протекающего через виток. Витки расположены так близко друг к другу, что линии индукции поля, создаваемого одним витком, пронизывают всю катушку. Вначале контур был настроен на прием радиопередач на частоте υ₁  =  7 МГц. Затем часть витков катушки закоротили, и полное число ее витков уменьшилось до N₂  =  N₁/3. Как и на сколько при этом изменилась частота принимаемых сигналов? Можно считать, что в катушке индуктивности магнитные поля каждого витка с током одинаковы, и полный магнитный поток проходит через каждый виток.

Задача 31428

Для измерения модуля индукции B постоянного магнитного поля иногда применяют магнитометр с вращающейся с известной частотой ν маленькой катушкой с известным числом витков N и площадью витка S, которую помещают в исследуемую область поля. К катушке через скользящие контакты подключают измерительную цепь (см. рисунок), состоящую из последовательно соединенных идеального диода Д и конденсатора емкостью С, к которому подключен параллельно почти идеальный вольтметр V с достаточно большим сопротивлением. Объясните, как должна располагаться ось ОО′ вращения катушки относительно вектора $\vecB$ поля (например, создаваемого постоянным магнитом М), чтобы можно было правильно найти величину B. Вычислите B для случая, когда $\nu =100Гц,$ N  =  50, $S = 20мм в квадрате ,$ а показания вольтметра $U = 0,5В.$

Решение.

1.  Для того, чтобы изменение магнитного потока через катушку при ее вращении имело максимальную амплитуду, пропорциональную B, необходимо расположить ось вращения ОО′ перпендикулярно линиям индукции $\vecB$ (в нашем случае  — поперек длинной оси магнита М).

2.  Полный поток вектора магнитной индукции $Ф$ через катушку при этом будет изменяться при ее вращении с частотой ν в пределах от +BNS до −BNS по закону

$Ф левая круглая скобка t правая круглая скобка =BNS косинус левая круглая скобка 2 Пи \nu t плюс \varphi правая круглая скобка ,$

где $\varphi$   — некоторая начальная фаза, определяемая начальным положением катушки.

3.  По закону электромагнитной индукции Фарадея в катушке будет возникать при этом ЭДС индукции

$\mathcalE = дробь: числитель: минус dФ, знаменатель: dt конец дроби = 2 Пи \nu BNS синус левая круглая скобка 2 Пи \nu t плюс \varphi правая круглая скобка .$

4.  Под действием этой ЭДС в замкнутой цепи с диодом по закону Ома возникнет «пульсирующий» ток, график зависимости силы которого от времени будет представлять последовательность верхних полупериодов синуса (нижние полупериоды, соответствующие отрицательным значениям силы тока, будут «отрезаться» диодом, поскольку он пропускает ток только в положительном направлении). Этот «пульсирующий» ток зарядит конденсатор до постоянного амплитудного значения ЭДС, равного $U_\max=2 Пи \nu BNS,$ которое и измеряется вольтметром. Если в дальнейшем B будет изменяться (например, уменьшаться из-⁠за удаления магнита от катушки), то через большое сопротивление вольтметра «лишний» заряд с конденсатора сможет медленно стекать, и будут устанавливаться новые показания вольтметра.

5.  Таким образом, искомое значение В можно определить по формуле:

$B= дробь: числитель: U, знаменатель: 2 Пи \nu NS конец дроби .$

6.  Подставляя численные данные из условия задачи в системе СИ, получаем:

$B= дробь: числитель: 0,5, знаменатель: 2 умножить на 3,14 умножить на 100 умножить на 50 умножить на 20 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка конец дроби \approx 0,796Тл\approx 0,8Тл.$

Ответ: 0,8 Тл.

Задача 31900

Входной колебательный контур коротковолнового приемника, соединенный с антенной, был настроен на частоту $\nu=20$ МГц и состоял из катушки индуктивности L и двух конденсаторов емкостями C₁  =  3C и C ₂  =  C, соединенных параллельно. Во время грозы и близких разрядов молний конденсатор C₁ был «пробит» и выгорел, так что в контуре остался только один конденсатор C₂. Как и на сколько изменилась при этом длина волны $\lambda,$ которую мог принимать приемник без перенастройки?

Задача 31945

Входной колебательный контур коротковолнового приемника, соединенный с антенной, был настроен на частоту $\nu=25$ МГц и состоял из катушки индуктивности L и конденсатора емкостью C₁  =  C. Чтобы настроиться на другую частоту, радиолюбитель припаял параллельно первому конденсатору второй, емкостью C₂  =  3C. Как и на сколько изменилась при этом длина волны $\lambda,$ которую мог принимать приемник?

Задача 32270

В колебательном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, происходят свободные электромагнитные колебания с периодом T  =  50,24 мкс и максимальным напряжением на конденсаторе U_max. Зависимость энергии электрического поля конденсатора от разности потенциалов между его обкладками в пределах от 0 до U_max приведена на графике. Определите максимальное значение силы тока в контуре.

Задача 3295

На рисунке приведен график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре с последовательно включенными конденсатором и катушкой, индуктивность которой равна 0,2 Гн. Максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно W. Найдите W ответ укажите в миллиджоулях.

Задача 3423

В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени.

$t,10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$ с	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$q,10 в степени левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка$ Кл	2	1,42	0	-1,42	-2	-1,42	0	1,42	2	1,42

Вычислите по этим данным примерное значение максимальной силы тока в катушке. Ответ приведите в миллиамперах, с точностью до десятых.

Задача 3450

Емкость конденсатора в колебательном контуре равна 50 мкФ. Зависимость силы тока в катушке индуктивности от времени имеет вид: $I=a синус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где а = 1,5 А и $b = 500 рад/с.$ Найдите амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе. Ответ приведите в вольтах.

Задача 3452

Емкость конденсатора в колебательном контуре равна 50 мкФ. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени имеет вид: $U=a синус левая круглая скобка bt правая круглая скобка$ где а = 60 B и $b = 500 c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Определите максимальное значение силы тока в контуре. Ответ приведите в амперах.

Задача 3672

Один радиолюбитель постоянно слушал свою любимую радиостанцию, вещающую на длине волны $\lambda =3,29 м$ в диапазоне FM. Однажды передатчик этой радиостанции испортился, и она перешла на резервный передатчик, работающий в диапазоне УКВ на частоте 73,82 МГц. Радиолюбитель решил перестроить входной контур своего радиоприемника на эту частоту, для чего он в два раза увеличил индуктивность катушки контура, вставив в нее ферромагнитный сердечник большего размера. Настройка на нужную частоту у него при этом сразу не получилась, и пришлось вдобавок немного уменьшить емкость конденсатора в контуре. На сколько процентов была уменьшена емкость этого конденсатора для точной настройки приемника на новую частоту?

Задача 37160

В радиоприемнике коротковолнового диапазона, настроенном на прием длины волны $\lambda = 25м,$ емкость конденсатора входного контура $C = 1200пФ.$ В некоторый момент времени амплитуда колебаний силы тока в контуре была равна $I_0 = 10мА.$ Какова была при этом амплитуда $U_0$ колебаний напряжения на конденсаторе?

Задача 3891

Идеальный электромагнитный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 20 мкФ и катушки индуктивности. В начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения 4 В, ток через катушку не течет. В момент времени, когда напряжение на конденсаторе станет равным 2 В, чему будет равна энергия магнитного поля катушки? Ответ запишите в миллиджоулях.

Задача 4110

В домашнем радиоприемнике, принимающем сигнал в диапазонах длинных, средних и коротких волн (длины волн $\lambda$ от 13 м до 2600 м), переменный конденсатор входного колебательного контура может изменять свою емкость С от 50 пФ до 500 пФ. В каких минимальных пределах при этом должны меняться индуктивности L катушек этого контура?

Задача 4135

Плоская квадратная рамка покоится в однородном магнитном поле, линии магнитной индукции которого перпендикулярны ее поверхности. В некоторый момент времени рамку начинают равномерно вращать вокруг оси, лежащей в плоскости рамки, делая 20 оборотов в минуту. Через какой минимальный промежуток времени от начала вращения рамки поток, пронизывающий ее поверхность, уменьшится в 2 раза?

Задача 4162

В домашнем радиоприемнике, принимающем сигнал в диапазонах длинных, средних и коротких волн (длины волн $\lambda$ от 13 м до 2600 м), индуктивности L катушек входного колебательного контура могут изменяться в пределах от 1 мкГн до 4 мГн. В каких минимальных пределах при этом должна меняться емкость C переменного конденсатора этого контура?

Задача 4512

Замкнутый контур площадью S из тонкой проволоки помещен в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. В контуре возникают колебания тока с амплитудой $i_м = 35мА,$ если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B = a косинус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где $a = 6 умножить на 10 в степени м инус в кубе Тл,$ $b = 3500$ $c в степени м инус в степени 1 .$ Электрическое сопротивление контура $R = 1,2Ом.$ Чему равна площадь контура?

Задача 4547

Замкнутый контур из тонкой проволоки помещен в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Площадь контура $S = 2 умножить на 10 в степени м инус в кубе ~м в квадрате .$ В контуре возникают колебания тока с амплитудой $i_м = 35$ мА, если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B = a косинус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где $а = 6 умножить на 10 в степени м инус в кубе$ Тл, $b = 3500 с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Чему равно электрическое сопротивление контура R?

Задача 4582

Замкнутый контур из тонкой проволоки помещен в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Площадь контура $S = 2 умножить на 10 в степени м инус в кубе ~м в квадрате ,$ его электрическое сопротивление $R = 1,2$ Ом. Магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B = a косинус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где $a = 6 умножить на 10 в степени м инус в кубе$ Тл, $b = 3500~ с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Чему равна амплитуда колебаний тока в контуре?

Задача 4652

Замкнутый контур из тонкой проволоки помещен в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Площадь контура $S = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка м в квадрате .$ В контуре возникают колебания тока с амплитудой $i_м = 35мА,$ если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B = a косинус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где $a = 6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка Тл,$ $b = 3500с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Чему равно электрическое сопротивление контура R?

Задача 4687

Замкнутый контур из тонкой проволоки помещен в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Площадь контура $S = 2 умножить на 10 в степени м инус в кубе ~м в квадрате ,$ его электрическое сопротивление $R = 1,2$ Ом. В контуре возникают колебания тока с амплитудой $i_м = 35$ мА, если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B = a косинус левая круглая скобка bt правая круглая скобка ,$ где $b = 3500~с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Чему равна амплитуда колебаний магнитной индукции поля?

Задача 6131

Колебательный контур настроен на частоту 97,6 МГц. В конденсатор контура поместили диэлектрик, а в катушку вставили сердечник. В результате этого емкость конденсатора изменилась в 2 раза, а индуктивность катушки  — в 8 раз. На какую частоту стал в результате настроен колебательный контур? Ответ приведите в мегагерцах.

Задача 6175

Для измерения индукции постоянного магнитного поля иногда используют магнитометры с вращающейся катушкой, которая при помощи скользящих контактов присоединена к вольтметру переменного тока. Какой чувствительностью по действующему (эффективному) значению напряжения должен обладать такой вольтметр, имеющий очень большое входное сопротивление, чтобы минимальное значение индукции, которое может зафиксировать такой магнитометр, равнялось B_min =1 мкТл? Катушка вращается равномерно с частотой $\nu$ = 100 Гц, состоит из N = 20 витков тонкого провода, площадь каждого витка равна S = 1 см².

Задача 6355

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 10 нФ и катушки индуктивности. Если увеличить емкость конденсатора в 4 раза, то резонансная частота контура изменится на Δν = 1 кГц. Чему равна индуктивность катушки? Ответ приведите в генри, округлите до сотых.

Задача 6364

В колебательном контуре происходят незатухающие колебания, при которых амплитудные значения силы тока, текущего через катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе равны соответственно I₀  =  1 А и U₀  =  100 В. Каков период T этих колебаний, если емкость конденсатора C = 10 мкФ?

Задача 6435

В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд конденсатора q  =  4 · 10⁻⁹ Кл, а сила тока в катушке I  =  3 мА. Период колебаний T  =  6,3 · 10⁻⁶ с. Найдите амплитуду заряда.

Задача 6470

Период колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, равен T  =  6,3 мкс. Амплитуда колебаний силы тока I_m  =  5 мА. В момент времени t заряд конденсатора q  =  4 · 10⁻⁹ Кл. Найдите силу тока в катушке в этот момент.

Задача 6944

Входной контур коротковолнового радиоприемника был настроен на частоту, соответствующую длине волны $\lambda_1 = 16м.$ После того как контур перестроили, изменив положение ферромагнитного сердечника внутри катушки индуктивности контура и сдвинув пластины его плоского воздушного конденсатора до вдвое меньшего расстояния между ними, резонансная частота контура стала равной $\nu_2 = 10МГц.$ Как и во сколько раз n изменилась при этом индуктивность катушки контура?

Задача 7307

Для изготовления кипятильника использовали проволоку длиной l  =  1 м и поперечным сечением S  =  0,05 мм² с удельным сопротивлением ρ = 1,2 · 10^–6 Ом · м. Кипятильник включили в сеть с синусоидальным напряжением U(t)  =  U₀ sin ωt и погрузили в сосуд с двумя литрами воды с начальной температурой t₁  =  20 °C, которая закипела за время τ = 5,5 мин. Пренебрегая потерями теплоты, найдите амплитуду изменения напряжения U₀.

Задача 7877

Колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны λ = 2000 м. Индуктивность катушки контура L  =  6 мкГн, максимальный ток в ней I_max  =  1,6 мА. В контуре используется плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d  =  2 мм. Чему равно максимальное значение напряженности электрического поля в конденсаторе в процессе колебаний?

Задача 7937

В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $\mathcalE$ = 6 В, r = 2 Ом, L = 1 мГн. В момент t = 0 ключ К размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе в первый раз достигнет значения $\mathcalE$ ? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.

Задача 7986

В цепи, показанной на рисунке, ключ K долгое время замкнут. ЭДС источника $\mathcalE = 3 В.$ Внутреннее сопротивление источника равно r  =  2 Oм. Индуктивность катушки равна L  =  50 мГн. Ключ размыкают. Определите напряжение на конденсаторе, емкость которого равна С  =  50 мкФ, в тот момент времени, когда сила тока в катушке будет равна I  =  1 А.

Физика ЕГЭ - Электродинамика (расчетная задача высокого уровня) - Электромагнитные колебания