1.  Ра­бо­та газа за весь цикл равна, со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки, при­чем, в за­мкну­том цикле на­чаль­ная и ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ры сов­па­да­ют, по­это­му за цикл

2.  Газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту на изо­хо­ре 1–2 в ко­ли­че­стве:

Q₁₂ = C_V(T₂  — T₁)

и от­да­ет ее на изо­хо­ре 3–4 в ко­ли­че­стве:

Q₃₄  =  C_V(T₄ − T₃),

где C_V  — теп­ло­ем­кость дан­но­го ко­ли­че­ства газа при по­сто­ян­ном объ­е­ме.

3.  Ра­бо­та газа за цикл, таким об­ра­зом, равна:

A  =  C_V(T₂ − T₁ + T₄ − T₃).

4.  КПД равен от­но­ше­нию ра­бо­ты к по­лу­чен­ной теп­ло­те:

5.  По­сколь­ку по усло­вию T₂ = nT₃ и T₁  =  nT₄, то:

Ответ: 50%.

1.  На пер­вом, изо­ба­ри­че­ском, участ­ке газ со­вер­шил по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту:

2.  Чтобы найти не­из­вест­ный ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти k, за­ме­тим, что в со­сто­я­нии с объ­е­мом V₂ дав­ле­ние равно p₁, и в то же время эта точка яв­ля­ет­ся на­ча­лом вто­ро­го про­цес­са p  =  kV, так что:

3.  В конце вто­ро­го про­цес­са объем газа умень­шил­ся и опять стал рав­ным V₁, а дав­ле­ние сни­зи­лось до:

4.  По­сколь­ку объем газа во вто­ром про­цес­се умень­ша­ет­ся по ли­ней­но­му за­ко­ну, на этом участ­ке ра­бо­та газа от­ри­ца­тель­на и равна пло­ща­ди тра­пе­ции под гра­фи­ком:

5.  Таким об­ра­зом, за весь про­цесс газ со­вер­шил ра­бо­ту

Ответ: А = 375 Дж.

Цикл не яв­ля­ет­ся цик­лом иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны. По­это­му вос­поль­зу­ем­ся общей фор­му­лой через теп­ло­ту на­гре­ва­те­ля и теп­ло­ту хо­ло­диль­ни­ка.

Не­об­хо­ди­мо вы­яс­нить, на каком из участ­ков цикла газ по­лу­ча­ет тепло от на­гре­ва­те­ля, а на каком  — от­да­ет хо­ло­диль­ни­ку. Для этого про­ве­дем под­счет теп­ло­ты каж­до­го участ­ка по 1-⁠му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки:

1.  На участ­ке 1–2 пред­став­ле­на адиа­ба­та  — по опре­де­ле­нию ко­ли­че­ство теп­ло­ты на этом участ­ке равно нулю:

2.  На участ­ке 2–3 пред­став­лен изо­бар­ный про­цесс. По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки Ра­бо­та газа при изо­бар­ном про­цес­се из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии Тогда с уче­том урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва по­лу­ча­ем:

Ко­ли­че­ство теп­ло­ты тут по­лу­чи­лось от­ри­ца­тель­ное, зна­чит, на этом участ­ке газ от­да­ет теп­ло­ту хо­ло­диль­ни­ку.

3.  На участ­ке 3–1 объем газ по­сто­я­нен, ра­бо­та равна нулю. По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки:

Теп­ло­та по­лу­чи­лась на этом участ­ке по­ло­жи­тель­ной, а зна­чит, газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту от на­гре­ва­те­ля:

4.  Най­дем зна­че­ние КПД:

Ответ:

1.  Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки, Здесь мы счи­та­ем все ве­ли­чи­ны по­ло­жи­тель­ны­ми, а знаки раз­ных вкла­дов учи­ты­ва­ем при на­пи­са­нии урав­не­ний.

2.  Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки, КПД иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны, ра­бо­та­ю­щей по циклу Карно, от­ку­да где

3.  В иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­не все про­цес­сы об­ра­ти­мые. Как ука­за­но в усло­вии за­да­чи, при за­пус­ке ее в об­рат­ном на­прав­ле­нии знаки всех энер­ге­ти­че­ских вкла­дов про­сто по­ме­ня­ют­ся, а со­от­но­ше­ния между ними оста­нут­ся преж­ни­ми. В част­но­сти, из на­пи­сан­ных урав­не­ний сле­ду­ет, что

4.  Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: Это очень вы­год­но по срав­не­нию с про­сты­ми элек­тро­обо­гре­ва­те­ля­ми, КПД ко­то­рых равен еди­ни­це!

Ответ:

Ра­бо­та, со­вер­шен­ная над газом при изо­бар­ном сжа­тии, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле: Из урав­не­ния Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на для пер­во­го и вто­ро­го со­сто­я­ния газа и по­лу­ча­ем:

Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки при адиа­ба­ти­че­ском рас­ши­ре­нии ра­бо­та газа равна от­ку­да:

От­но­ше­ние работ равно 4:

от­ку­да сле­до­ва­тель­но, k = 4.

Ответ: 4.

При изо­бар­ном сжа­тии над ге­ли­ем со­вер­ша­ет­ся ра­бо­та, мо­дуль ко­то­рой где р  — дав­ле­ние гелия в этом про­цес­се, ΔV  — из­ме­не­ние его объ­е­ма.

В со­от­вет­ствии с урав­не­ни­ем Мен­де­ле­е­ва—Кла­пей­ро­на для этого про­цес­са можно за­пи­сать:

В адиа­бат­ном про­цес­се (про­цес­се без теп­ло­об­ме­на) в со­от­вет­ствии с пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки сумма из­ме­не­ния внут­рен­ней энер­гии газа и его ра­бо­ты равна От­ку­да по­лу­ча­ем:

Пре­об­ра­зуя за­пи­сан­ные урав­не­ния с уче­том со­от­но­ше­ний тем­пе­ра­тур, за­дан­ных в усло­вии за­да­чи, по­лу­ча­ем:

Тогда:

Ответ: 600 Дж.

Со­сто­я­ние иде­аль­но­го газа опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на При ки­пе­нии масса пара уве­ли­чи­ва­ет­ся, тем­пе­ра­ту­ра пара равна тем­пе­ра­ту­ре ки­пе­ния и оста­ет­ся по­сто­ян­ной пока весь бен­зол не вы­ки­пит, дав­ле­ние по усло­вию также по­сто­ян­но. Зна­чит, вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние

При пе­ре­да­че газу теп­ло­ты Q ис­па­ря­ет­ся бен­зо­ла. Най­дем ра­бо­ту, ко­то­рую со­вер­ша­ет пар:

И по пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки:

от­ку­да

то есть уве­ли­че­ние внут­рен­ней энер­гии со­став­ля­ет 90,5% от под­во­ди­мо­го ко­ли­че­ства теп­ло­ты.

Ответ: 90,5%.

1.  Со­глас­но мо­ле­ку­ляр­но-⁠ки­не­ти­че­ской тео­рии иде­аль­но­го газа, сред­не­квад­ра­тич­ная ско­рость его мо­ле­кул свя­за­на с тем­пе­ра­ту­рой газа фор­му­лой:

от­ку­да

2.  Ра­бо­та газа при изо­ба­ри­че­ском (со­глас­но усло­вию) про­цес­се равна

3.  Из урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва для од­но­го моля иде­аль­но­го газа по­лу­ча­ем, что

4.  Таким об­ра­зом, из за­пи­сан­ных урав­не­ний сле­ду­ет, что от­ку­да:

Ответ: 40 г/⁠моль.

1.  Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки где и   — из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии и ра­бо­та газа в дан­ном про­цес­се 1–2–3.

2.  Внут­рен­няя энер­гия од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа равна Таким об­ра­зом, как сле­ду­ет из диа­грам­мы про­цес­са:

3.  Ра­бо­та газа чис­лен­но равна пло­ща­ди под гра­фи­ком этого про­цес­са на pV-⁠диа­грам­ме. Как видно из диа­грам­мы,

4.  Таким об­ра­зом,

Ответ:

1.  По­сколь­ку сосуд имеет по­сто­ян­ный объем, то при по­лу­че­нии теп­ло­ты ра­бо­та газом не со­вер­ша­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, по пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки

2.  Гелий  — од­но­атом­ный газ. Из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии равно Зна­чит, гелий на­гре­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры

3.  Из урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва для вто­ро­го со­сто­я­ния газа дав­ле­ние во вто­ром со­сто­я­нии будет равно Раз­ность дав­ле­ний сна­ру­жи и из­нут­ри равна

Объ­еди­няя все урав­не­ния, по­лу­ча­ем:

Ответ: 1300 кПа.

1.   При ки­пе­нии бен­зо­ла про­ис­хо­дит его изо­бар­ное рас­ши­ре­ние. Ра­бо­та пара где p  — ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние,   — из­ме­не­ние объ­е­ма.

2.  Счи­тая пар иде­аль­ным газом, вос­поль­зу­ем­ся урав­не­ни­ем Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва для опре­де­ле­ния из­ме­не­ния объ­е­ма за счет ис­па­рив­ше­го­ся бен­зо­ла мас­сой где M  =  78 · 10⁻³ кг/моль  — мо­ляр­ная масса бен­зо­ла, T  =  80 + 273  =  353 K  — тем­пе­ра­ту­ра ки­пе­ния бен­зо­ла. От­сю­да

3.  Ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q, не­об­хо­ди­мое для ис­па­ре­ния массы бен­зо­ла, про­пор­ци­о­наль­но удель­ной теп­ло­те па­ро­об­ра­зо­ва­ния L:

4.  Ис­ко­мая ве­ли­чи­на опре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем:

Ответ:

1.  Рас­смот­рим про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие на каж­дом участ­ке:

На участ­ке 1−2 про­ис­хо­дит изо­хор­ное на­гре­ва­ние (V₁  =  V₂), при ко­то­ром по гра­фи­ку тем­пе­ра­ту­ра уве­ли­чи­ва­ет­ся в 2 раза. Зна­чит, ис­хо­дя из за­ко­на дав­ле­ние уве­ли­чи­ва­ет­ся в 2 раза.

На участ­ке 2−3 про­ис­хо­дит изо­бар­ное на­гре­ва­ние, при ко­то­ром по за­ко­ну или

На участ­ке 3−4 про­ис­хо­дит изо­хор­ное охла­жде­ние, при ко­то­ром по за­ко­ну или

На участ­ке 4−1 про­ис­хо­дит изо­бар­ное охла­жде­ние. Тогда в преды­ду­щем урав­не­нии от­ку­да T₃  =  4T₁.

2.  Най­дем ра­бо­ту газа за цикл. На участ­ках 1−2 и 3−4 объ­е­мы не ме­ня­ют­ся, по­это­му ра­бо­та не со­вер­ша­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­ты за цикл равна:

A  =  A₂₋₃ + A₄₋₁,

3.  Газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту на участ­ках 1–2 и 2–3. Най­дем ко­ли­че­ство теп­ло­ты на каж­дом участ­ке, при­ме­нив пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки:

4.  Най­дем КПД цик­ли­че­ско­го про­цес­са:

Ответ: 15%.

1.  Для рас­че­тов по тер­мо­ди­на­ми­че­ским фор­му­лам пе­ре­ве­дем вна­ча­ле тем­пе­ра­ту­ры, дан­ные в усло­вии, из гра­ду­сов Цель­сия в гра­ду­сы Кель­ви­на: T_н1  =  800 °C=1073 К, T_x1  =  0 °C  =  273 К, T_x2  =  60 °C  =  333 К.

2.  Со­глас­но опре­де­ле­нию КПД и фор­му­ле для КПД цикла Карно:

3.  Ана­ло­гич­ным об­ра­зом на­хо­дим:

4.  Чтобы найти A₃, надо вна­ча­ле опре­де­лить Q₃⁺, ко­то­рое по усло­вию равно |Q₂⁻|. По фор­му­лам для КПД имеем:

5.  Далее по­лу­ча­ем:

6.  Таким об­ра­зом, и

Ответ: 1.

КПД цик­ли­че­ско­го про­цес­са равно Най­дем ра­бо­ту за цикл Для изо­хор­но­го про­цес­са При адиа­бат­ном про­цес­се из пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки сле­ду­ет, что так как а из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии Для изо­бар­но­го про­цес­са Учи­ты­вая, что из урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва то Таким об­ра­зом, ра­бо­та газа за цикл:

Из гра­фи­ка сле­ду­ет, что при изо­хор­ном про­цес­се газ по­лу­чал теп­ло­ту, при адиа­бат­ном про­цес­се ко­ли­че­ство теп­ло­ты равно 0, при изо­бар­ном про­цес­се газ теп­ло­ту от­да­вал. Зна­чит, не­об­хо­ди­мо найти ко­ли­че­ство теп­ло­ты при изо­хор­ном про­цес­се. Из пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки но при этом а то от на­гре­ва­те­ля по­лу­че­на теп­ло­та

Тогда КПД цикла:

Ответ: 8%.

1.  Со­глас­но урав­не­нию со­сто­я­ния Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на и вы­ра­же­нию для внут­рен­ней энер­гии U₁ од­но­го моля иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа при тем­пе­ра­ту­ре T₁ имеем:

2.  По­сколь­ку сред­няя квад­ра­тич­ная ско­рость теп­ло­во­го дви­же­ния ато­мов од­но­атом­но­го газа равна то с уче­том урав­не­ния Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на

3.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем:

4.  Газ в ци­лин­дре под порш­нем теп­ло­изо­ли­ро­ван, по­это­му в рас­смат­ри­ва­е­мом адиа­ба­ти­че­ском про­цес­се со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки от­ку­да:

5.  В ко­неч­ном со­сто­я­нии неона:

6.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем:

7.  Таким об­ра­зом:

Ответ:

1.  Со­глас­но урав­не­нию Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на для од­но­го моля иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа при тем­пе­ра­ту­ре T имеем: pV  =  RT.

2.  Ра­бо­та газа на p−V-⁠диа­грам­ме равна пло­ща­ди под кри­вой p(V), то есть на гра­фи­ке y(x) эта ра­бо­та скла­ды­ва­ет­ся из эле­мен­тар­ных работ:

3.  На участ­ке 1–2, как сле­ду­ет из гра­фи­ка, и

4.  На участ­ке 2–3 ра­бо­та не со­вер­ша­ет­ся: А₂₃  =  0.

5.  За­ме­тим, что пло­щадь «еди­нич­ной клет­ки» ( ) на диа­грам­ме равна ра­бо­те газа, вы­ра­жен­ной в еди­ни­цах по­сколь­ку в точке 2 как раз x  =  1, V  =  V₀, и y  =  1, p  =  p₀, а T  =  T₂.

6.  Для на­хож­де­ния ра­бо­ты А₃₄ надо вна­ча­ле найти ко­ор­ди­на­ту x_m, со­от­вет­ству­ю­щую мак­си­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре T_m в про­цес­се. По­сколь­ку

то на участ­ке 3–1 надо ис­кать мак­си­мум про­из­ве­де­ния

7.  Как видно из диа­грам­мы, на этом участ­ке и при x_m  =  3.

8.  Из гра­фи­ка видно, что пло­щадь под участ­ком 3−4 диа­грам­мы равна 8 еди­ни­цам, так что и (для ν  =  1 моль)

Ответ:

При пе­ре­хо­де из на­чаль­но­го в ко­неч­ное со­сто­я­ние объем газа уве­ли­чил­ся, газ со­вер­шил ра­бо­ту А. Вы­пол­ня­ет­ся пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки: пе­ре­дан­ное газу ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q равно сумме из­ме­не­ния внут­рен­ней энер­гии газа и ра­бо­ты А, со­вер­шен­ной газом.

Внут­рен­няя энер­гия иде­аль­но­го газа в со­сто­я­ни­ях 1 и 3 вы­ра­жа­ет­ся через дав­ле­ние и объем газа:

Ра­бо­та А при пе­ре­хо­де газа из со­сто­я­ния 1 в со­сто­я­ние 3 равна пло­ща­ди фи­гу­ры под гра­фи­ком диа­грам­мы в ко­ор­ди­на­тах (р, V):

В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем ко­ли­че­ство теп­ло­ты:

По­ло­жи­тель­ное зна­че­ние ве­ли­чи­ны Q озна­ча­ет, что газ по­лу­чил ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Ответ: 700 Дж.

При пе­ре­хо­де из на­чаль­но­го в ко­неч­ное со­сто­я­ние объем газа умень­шил­ся, внеш­ние силы над газом со­вер­ши­ли ра­бо­ту А'. Вы­пол­ня­ет­ся пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки: пе­ре­дан­ное газу ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q равно раз­но­сти из­ме­не­ния внут­рен­ней энер­гии газа и ра­бо­ты А', со­вер­шен­ной над газом:

Внут­рен­няя энер­гия иде­аль­но­го газа в со­сто­я­ни­ях 1 и 3 вы­ра­жа­ет­ся через зна­че­ния дав­ле­ния и объ­е­ма газа:

Ра­бо­та А' при пе­ре­хо­де газа из со­сто­я­ния 1 в со­сто­я­ние 3 равна пло­ща­ди фи­гу­ры под гра­фи­ком диа­грам­мы в ко­ор­ди­на­тах (р, V):

Объ­еди­няя фор­му­лы, по­лу­ча­ем ко­ли­че­ство теп­ло­ты:

От­ри­ца­тель­ное зна­че­ние ве­ли­чи­ны Q озна­ча­ет, что газ отдал ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Ответ:  Дж.

Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки в пер­вом опыте про­цесс изо­хор­ный (объем в со­су­де с за­креп­лен­ным порш­нем не ме­ня­ет­ся), во вто­ром  — изо­бар­ный.

где   — при­ра­ще­ние внут­рен­ней энер­гии газа (оди­на­ко­вое в двух опы­тах, так как из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры оди­на­ко­во), A  — ра­бо­та газа во вто­ром опыте. Вы­чи­тая (1) из (2), по­лу­ча­ем:

Ра­бо­та A со­вер­ша­лась газом в ходе изо­бар­но­го рас­ши­ре­ния, так что:

(  — из­ме­не­ние объ­е­ма газа).

С по­мо­щью урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва эту ра­бо­ту можно вы­ра­зить через при­ра­ще­ние тем­пе­ра­ту­ры газа:

Из урав­не­ний (3), (4) и (5) по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Су­ще­ству­ет более ко­рот­кое ре­ше­ние, од­на­ко для него тре­бу­ет­ся зна­ние фор­му­лы для из­ме­не­ния внут­рен­ней энер­гии двух­атом­но­го газа: В этой фор­му­ле стоит 5/⁠2 вме­сто при­выч­ных 3/⁠2, это от­ра­жа­ет тот факт, что у двух­атом­ных мо­ле­кул 5 сте­пе­ней сво­бо­ды (два вра­ще­ния + три по­сту­па­тель­ных дви­же­ния) в от­ли­чие от од­но­атом­ных мо­ле­кул, у ко­то­рых есть толь­ко три по­сту­па­тель­ных дви­же­ния. (За­ме­ча­ние: для мно­го­атом­ных мо­ле­кул (со­сто­я­щих из трех и более ато­мов) спра­вед­ли­ва фор­му­ла так как для них есть шесть сте­пе­ней сво­бо­ды: три вра­ще­ния + три по­сту­па­тель­ных дви­же­ния.)

Рас­смот­рим пер­вый опыт. Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки, все пе­ре­дан­ное газу тепло идет на из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии, по­сколь­ку пор­шень фик­си­ро­ван, и газ не может со­вер­шать ра­бо­ту:

От­сю­да сразу на­хо­дим из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры азота:

Од­на­ко в ко­ди­фи­ка­то­ре нет фор­му­лы внут­рен­ней энер­гии для мно­го­атом­но­го газа.

1.  Про­ве­дем вна­ча­ле рас­чет теп­ло­во­го ба­лан­са при одном вы­стре­ле: теп­ло­та сго­ра­ния 3 г по­ро­ха равна:

2.  Таким об­ра­зом, на на­гре­ва­ние тела пу­ле­ме­та и воды за 1 вы­стрел идет ко­ли­че­ство теп­ло­ты:

Урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са при этом имеет вид:

Здесь С_ж и С_в  — удель­ные теп­ло­ем­ко­сти же­ле­за и воды, плот­ность воды.

3.  Для на­гре­ва­ния на 80 °C, до тем­пе­ра­ту­ры ки­пе­ния воды, по­на­до­бит­ся:

4.  Для ис­па­ре­ния всех 5 л, то есть 5 кг воды по­тре­бу­ет­ся:

1.  КПД цикла равен от­но­ше­нию ра­бо­ты со­вер­шен­ной газом за цикл, к ко­ли­че­ству теп­ло­ты Q ⁺, по­лу­чен­но­му за цикл. Ра­бо­та чис­лен­но равна пло­ща­ди цикла на pV-⁠диа­грам­ме: а теп­ло­та где в силу усло­вия ра­вен­ства еди­ни­це числа молей газа ве­ли­чи­на C_i  — это мо­ляр­ная теп­ло­ем­кость иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа на дан­ном участ­ке цикла.

2.  Из pV-диа­грам­мы видно, что вся пло­щадь цикла равна сумме шести квад­рат­ных пло­ща­док со сто­ро­на­ми и так что:

3.  Газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту на изо­хор­ном участ­ке 1−2, где и на изо­бар­ном участ­ке 2–3, где:

4.  Тем­пе­ра­ту­ры T_i могут быть най­де­ны из урав­не­ния Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на:

от­ку­да:

5.  Под­став­ляя вы­ра­же­ния для теп­ло­ем­ко­стей и раз­но­стей тем­пе­ра­тур в фор­му­лу для Q⁺, по­лу­ча­ем:

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 17,4%.

1.  Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки где   — из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии, а   — ра­бо­та газа в про­цес­се.

2.  Внут­рен­няя энер­гия од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа с уче­том урав­не­ния Мен­де­ле­е­ва-⁠Кла­пей­ро­на может быть за­пи­са­на в виде:

3.  Эле­мен­тар­ная ра­бо­та газа равна и пол­ная ра­бо­та в про­цес­се 1−2 чис­лен­но рав­ня­ет­ся пло­ща­ди под гра­фи­ком про­цес­са:

4.  Под­став­ляя по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния для и в пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки, по­лу­чим:

5.  Вы­ра­жая от­сю­да дав­ле­ние в со­сто­я­нии 2, по­лу­ча­ем:

6.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные в си­сте­ме СИ из усло­вия за­да­чи, по­лу­ча­ем:

Ответ:

1.  Когда в на­сы­щен­ные пары воды при 100 °C внес­ли хо­лод­ный ста­кан со льдом при 0 °C, на его по­верх­но­сти на­ча­лась кон­ден­са­ция паров, при ко­то­рой вы­де­ля­ет­ся теп­ло­та кон­ден­са­ции, рав­ная теп­ло­те па­ро­об­ра­зо­ва­ния воды и рас­хо­ду­е­мая на на­гре­ва­ние мед­но­го ста­ка­на и плав­ле­ние льда в нем (здесь L  — удель­ная теп­ло­та па­ро­об­ра­зо­ва­ния воды, рав­ная 2,3 · 10⁶ Дж/⁠кг).

2.  По­сколь­ку за счет ки­пя­че­ния воды в ци­лин­дре при по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ре пары воды в нем все время оста­ют­ся на­сы­щен­ны­ми, то про­цесс на­гре­ва­ния ста­ка­на со льдом будет про­ис­хо­дить до тех пор, пока сам ста­кан и вода в нем, по­лу­чив­ша­я­ся при плав­ле­нии льда, не на­гре­ют­ся до 100 °C. После этого вода в ста­ка­не будет на­хо­дить­ся в рав­но­ве­сии с на­сы­щен­ным паром, и про­цесс его кон­ден­са­ции на ста­ка­не за­кон­чит­ся.

3.  Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, не­об­хо­ди­мое для на­гре­ва­ния меди, равно:

4.  Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, не­об­хо­ди­мое для плав­ле­ния льда мас­сой в ста­ка­не, равно где   — удель­ная теп­ло­та плав­ле­ния льда.

5.  Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, не­об­хо­ди­мое для на­гре­ва­ния об­ра­зо­вав­шей­ся при плав­ле­нии льда воды, равно:

6.  За­пи­сы­вая урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са, имеем: Ис­поль­зуя най­ден­ные вы­ра­же­ния для всех ко­ли­честв теп­ло­ты, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем ис­ко­мую массу скон­ден­си­ро­вав­ше­го­ся пара:

7.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные в си­сте­ме СИ из усло­вия за­да­чи, по­лу­ча­ем:

Ответ:

1.  Пе­ре­ри­су­ем гра­фик про­цес­са в виде pV-⁠диа­грам­мы (см. рис.). Будем от­ме­чать ниж­ни­ми ин­дек­са­ми 1, 2 и 3 фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны (дав­ле­ние p, объем V и тем­пе­ра­ту­ру T), от­но­ся­щи­е­ся к со­сто­я­ни­ям 1, 2 и 3 газа.

2.  Со­вер­шен­ная газом на участ­ке цикла ра­бо­та чис­лен­но равна пло­ща­ди под ли­ни­ей, изоб­ра­жа­ю­щей дан­ный уча­сток на pV-⁠диа­грам­ме. Со­от­вет­ствен­но, ра­бо­та, со­вер­шен­ная газом за пол­ный цикл, чис­лен­но равна пло­ща­ди цикла на pV-⁠диа­грам­ме. Для дан­но­го «тре­уголь­но­го» цикла:

3.  Газ в этом цикле по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство теп­ло­ты на участ­ках 1–2 и 2–3 В со­от­вет­ствии с пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки Для изо­хор­но­го про­цес­са для изо­бар­но­го Из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

4.  КПД цикла теп­ло­во­го дви­га­те­ля равен от­но­ше­нию ра­бо­ты А, со­вер­шен­ной газом за цикл, к ко­ли­че­ству теп­ло­ты под­ве­ден­ной к ра­бо­че­му телу за один цикл ра­бо­ты дви­га­те­ля:

Ответ:

1.  Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки, ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₁₂ при ис­па­ре­нии воды было из­рас­хо­до­ва­но на ра­бо­ту А₁₂ про­тив внеш­них сил ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния и на из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии воды:

2.  Масса m воды на­хо­дит­ся, ис­хо­дя из её объёма и плот­но­сти дан­ной в таб­ли­цах:

3.  Ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₁₂ опре­де­ля­ет­ся из массы воды и таб­лич­ной удель­ной теп­ло­ты её па­ро­об­ра­зо­ва­ния при нор­маль­ном ат­мо­сфер­ном дав­ле­нии и тем­пе­ра­ту­ре ки­пе­ния По­лу­ча­ем:

4.  Ра­бо­та, со­вершённая паром в про­цес­се рас­ши­ре­ния при нор­маль­ном ат­мо­сфер­ном дав­ле­нии, равна:

5.  Из за­пи­сан­ных со­от­но­ше­ний сле­ду­ет, что:

Про­ве­дем ана­лиз про­цес­сов. При изо­бар­ном рас­ши­ре­нии тем­пе­ра­ту­ра газа уве­ли­чи­ва­ет­ся со­глас­но за­ко­ну При рас­ши­ре­нии газ со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту, при на­гре­ва­нии внут­рен­няя энер­гия газа уве­ли­чи­ва­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, газ по­лу­ча­ет по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство теп­ло­ты от на­гре­ва­те­ля.

При изо­хор­ном охла­жде­нии газ ра­бо­ту не со­вер­ша­ет, его внут­рен­няя энер­гия умень­ша­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, газ теп­ло­ту от­да­ет.

При адиа­бат­ном сжа­тии ко­ли­че­ство теп­ло­ты равно 0. Таким об­ра­зом, газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту толь­ко на участ­ке 1–2.

По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки При изо­бар­ном про­цес­се ра­бо­та газа равна а из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа где – ко­ли­че­ство ве­ще­ства, – из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры газа.

Тогда а по­лу­чен­ная теп­ло­та

Ра­бо­та газа за цикл равна по­сколь­ку на участ­ке 2–3 ра­бо­та не со­вер­ша­ет­ся. При адиа­бат­ном сжа­тии по усло­вию при этом ра­бо­та газа от­ри­ца­тель­на, по­то­му что объем газа умень­ша­ет­ся. Тогда по­лу­ча­ем, что ра­бо­та газа за цикл равна

Най­дем КПД цикла:

Ответ: 20%.

Про­ана­ли­зи­ру­ем про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие с иде­аль­ным газом.

На участ­ке 1–2 про­ис­хо­дит изо­бар­ное рас­ши­ре­ние. Для этого про­цес­са вы­пол­ня­ет­ся закон Сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра газа уве­ли­чи­ва­ет­ся, от­ку­да де­ла­ем вывод, что и Тогда газ со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту Из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа в этом про­цес­се

яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. Сле­до­ва­тель­но, по пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки в изо­бар­ном про­цес­се газ по­лу­ча­ет от на­гре­ва­те­ля ко­ли­че­ство теп­ло­ты

от­ку­да

В адиа­бат­ных про­цес­сах 2–3 и 4–1 газ не по­лу­ча­ет и не от­да­ет теп­ло­ты,

На участ­ке 3–4 про­ис­хо­дит изо­хор­ное умень­ше­ние дав­ле­ния газа. По за­ко­ну для изо­хор­но­го про­цес­са сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра газа умень­ша­ет­ся. При изо­хор­ном про­цес­се ра­бо­та газа равна нулю, при умень­ше­нии тем­пе­ра­ту­ры из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии иде­аль­но­го газа от­ри­ца­тель­ное. По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки от­ри­ца­тель­но, то есть в этом про­цес­се газ теп­ло­ту от­да­ет хо­ло­диль­ни­ку

Из фор­му­лы КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля най­дем ко­ли­че­ство теп­ло­ты, от­дан­ное хо­ло­диль­ни­ку:

Ответ: 249,3 Дж.

1.  От­но­си­тель­ная влаж­ность воз­ду­ха по опре­де­ле­нию равна от­но­ше­нию пар­ци­аль­но­го дав­ле­ния паров воды к дав­ле­нию на­сы­щен­ных паров воды при той же тем­пе­ра­ту­ре, или от­но­ше­нию со­от­вет­ству­ю­щих плот­но­стей паров: от­ку­да

2.  Со­глас­но урав­не­нию Мен­де­ле­е­ва-Кла­пей­ро­на, ко­то­рое можно при­ме­нять к парам воды при низ­ких дав­ле­ни­ях, так что вна­ча­ле надо опре­де­лить пол­ную массу m воды в па­ке­те после сме­ши­ва­ния двух пор­ций влаж­но­го воз­ду­ха:

3.  Затем, пре­не­бре­гая из­ме­не­ни­ем сум­мар­но­го объёма па­ке­та найдём массу на­сы­щен­ных паров воды в нём при тем­пе­ра­ту­ре T₂, учи­ты­вая сло­же­ние дав­ле­ний паров по за­ко­ну Даль­то­на:

4.  По­сколь­ку плот­но­сти паров при дан­ном объёме про­пор­ци­о­наль­ны их мас­сам, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние для от­но­си­тель­ной влаж­но­сти воз­ду­ха в ко­неч­ном со­сто­я­нии:

5.  Под­став­ляя дан­ные из усло­вия, на­хо­дим ис­ко­мую влаж­ность:

Зна­чит, вы­па­дет роса, и влаж­ность воз­ду­ха будет равна 100%.

Ответ:

1.  Внут­рен­ние энер­гии газа в пер­вой и вто­рой ча­стях объёма ци­лин­дра равны, со­от­вет­ствен­но, и

2.  По­сколь­ку сосуд теп­ло­изо­ли­ро­ван и его стен­ки жёсткие, он не об­ме­ни­ва­ет­ся ко­ли­че­ством теп­ло­ты с окру­жа­ю­щи­ми те­ла­ми, и ра­бо­та при сме­ши­ва­нии газов не со­вер­ша­ет­ся. По­это­му, в со­от­вет­ствии с пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки, внут­рен­няя энер­гия дан­ной си­сте­мы со­хра­ня­ет­ся не­из­мен­ной. Сле­до­ва­тель­но, после уда­ле­ния пе­ре­го­род­ки сум­мар­ная внут­рен­няя энер­гия газа будет равна

3.  От­сю­да

4.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные в си­сте­ме СИ из усло­вия за­да­чи, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q, со­об­щен­ное газу, рас­хо­ду­ет­ся на ра­бо­ту газа A и из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии

Ра­бо­та газа на изо­ба­ри­че­ском участ­ке 1–2 равна а на изо­хо­ри­че­ском участ­ке 2–3 она равна нулю: Как видно из ри­сун­ка, и сум­мар­ная ра­бо­та в про­цес­се 1–2–3 равна

Внут­рен­няя энер­гия од­но­го моля иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа: Со­глас­но урав­не­нию Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва для од­но­го моля иде­аль­но­го газа имеем так что Из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии газа в про­цес­се 1–2–3 равно, таким об­ра­зом, Как видно из ри­сун­ка, и

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Дан­ные, ука­зан­ные в усло­вии, не­прав­до­по­доб­ны, в со­сто­я­нии 1 у газа долж­на быть тем­пе­ра­ту­ра 24000 К, а в со­сто­я­нии 3  — 290000 К.

1.  КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля равен от­но­ше­нию ра­бо­ты газа за цикл к ко­ли­че­ству теп­ло­ты по­лу­чен­но­му за цикл от на­гре­ва­те­ля:

2.  Ра­бо­та равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­но­го цикла на pV-⁠диа­грам­ме:

3.  Из на­пи­сан­ных со­от­но­ше­ний сле­ду­ет, что

Со­глас­но урав­не­нию Мен­де­ле­е­ва-Кла­пей­ро­на для од­но­го моля газа по­лу­ча­ем, что

4.  Под­став­ляя чис­лен­ные дан­ные из усло­вия за­да­чи, пе­ре­во­дя их в си­сте­му СИ, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

КПД иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны равен Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, ко­то­рое при этом от­да­ет­ся хо­ло­диль­ни­ку, равно

При ра­бо­те иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны в об­рат­ном на­прав­ле­нии от хо­лод­но­го тела от­ни­ма­ет­ся ко­ли­че­ство теп­ло­ты за счет ра­бо­ты A, со­вер­ша­е­мой над ра­бо­чим ве­ще­ством цикла, и теп­ло­му телу, ко­то­рым в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся окру­жа­ю­щая среда, от­да­ет­ся ко­ли­че­ство теп­ло­ты при­чем все со­от­но­ше­ния ко­ли­честв теп­ло­ты, ра­бо­ты и тем­пе­ра­тур оста­ют­ся та­ки­ми же, как при ра­бо­те иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны в пря­мом на­прав­ле­нии.

По­это­му и

Ответ: 28 кДж.

Про­ана­ли­зи­ру­ем про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие с иде­аль­ным газом. На участ­ке 1−2 объем газа изо­бар­но умень­ша­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, со­глас­но за­ко­ну Гей-Люс­са­ка его тем­пе­ра­ту­ра также умень­ша­ет­ся. Тогда газ со­вер­ша­ет от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту, его внут­рен­няя энер­гия умень­ша­ет­ся. По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки то есть газ теп­ло­ту от­да­ет.

На участ­ке 2−3 и объем, и дав­ле­ние уве­ли­чи­ва­ют­ся прямо про­пор­ци­о­наль­но, сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра уве­ли­чи­ва­ет­ся. Таким об­ра­зом, ра­бо­та газа по­ло­жи­тель­на, внут­рен­няя энер­гия уве­ли­чи­ва­ет­ся, газ теп­ло­ту по­лу­ча­ет.

На участ­ке 3−1 объем газа умень­ша­ет­ся в 2 раза, дав­ле­ние умень­ша­ет­ся в 4 раза, сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра умень­ша­ет­ся. Зна­чит, ра­бо­та газа от­ри­ца­тель­на, внут­рен­няя энер­гия умень­ша­ет­ся, газ теп­ло­ту от­да­ет.

В ре­зуль­та­те ана­ли­за про­цес­сов де­ла­ем вывод, что газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту на участ­ке 2−3. Най­дем это ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Ра­бо­та газа най­дем как пло­щадь фи­гу­ры под гра­фи­ком:

Из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии на дан­ном участ­ке:

Тогда по­лу­чен­ное газом ко­ли­че­ство теп­ло­ты по пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки

Най­дем ра­бо­ту, со­вер­шен­ную газом за цикл как пло­щадь фи­гу­ры:

Тогда КПД цикла:

Ответ: 5%.

Про­ана­ли­зи­ру­ем про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие с иде­аль­ным газом. На участ­ке 1−2 дав­ле­ние газа изо­хор­но уве­ли­чи­ва­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, со­глас­но за­ко­ну Шарля его тем­пе­ра­ту­ра также уве­ли­чи­ва­ет­ся. Тогда газ не со­вер­ша­ет ра­бо­ту, его внут­рен­няя энер­гия уве­ли­чи­ва­ет­ся. По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки то есть газ теп­ло­ту по­лу­ча­ет.

На участ­ке 2−3 и объем, и дав­ле­ние уве­ли­чи­ва­ют­ся прямо про­пор­ци­о­наль­но, сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра уве­ли­чи­ва­ет­ся. Таким об­ра­зом, ра­бо­та газа по­ло­жи­тель­на, внут­рен­няя энер­гия уве­ли­чи­ва­ет­ся, газ теп­ло­ту по­лу­ча­ет.

На участ­ке 3−1 объем газа умень­ша­ет­ся в 2,5 раза, дав­ле­ние умень­ша­ет­ся в 8 раз, сле­до­ва­тель­но, тем­пе­ра­ту­ра умень­ша­ет­ся. Зна­чит, ра­бо­та газа от­ри­ца­тель­на, внут­рен­няя энер­гия умень­ша­ет­ся, газ теп­ло­ту от­да­ет.

В ре­зуль­та­те ана­ли­за про­цес­сов де­ла­ем вывод, что газ по­лу­ча­ет теп­ло­ту на участ­ках 1−2 и 2−3. Най­дем это ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Для участ­ка 1−2 по пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки

Най­дем ра­бо­ту, из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии и по­лу­чен­ное ко­ли­че­ство теп­ло­ты на участ­ке 2−3:

Таким об­ра­зом, за цикл иде­аль­ный газ по­лу­чил ко­ли­че­ство теп­ло­ты

Ра­бо­ту газа за цикл най­дем как пло­щадь тре­уголь­ни­ка под гра­фи­ком:

Тогда КПД цикла

Ответ: 6%.

На участ­ке 1−2 при изо­бар­ном рас­ши­ре­нии тем­пе­ра­ту­ра газа также уве­ли­чи­ва­ет­ся со­глас­но за­ко­ну При этом газ со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту его внут­рен­няя энер­гия уве­ли­чи­ва­ет­ся Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки газ по­лу­ча­ет от на­гре­ва­те­ля ко­ли­че­ство теп­ло­ты

На участ­ке 2−3 дав­ле­ние изо­хор­но умень­ша­ет­ся. Со­глас­но за­ко­ну тем­пе­ра­ту­ра газа умень­ша­ет­ся. Тогда газ ра­бо­ту не со­вер­ша­ет, а его внут­рен­няя энер­гия умень­ша­ет­ся По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки газ от­да­ет хо­ло­диль­ни­ку ко­ли­че­ство теп­ло­ты

Про­цесс 3−1 яв­ля­ет­ся адиа­бат­ным, по­это­му

Тогда КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля:

Ответ: 17,8%.

Про­ана­ли­зи­ру­ем про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие с иде­аль­ным од­но­атом­ным газом:

На участ­ке 1—2 про­ис­хо­дит изо­хор­ное охла­жде­ние. Ра­бо­ту газ не со­вер­ша­ет, из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии газа равно

По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки Газ теп­ло­ту от­да­ет хо­ло­диль­ни­ку.

На участ­ках 2—3 и 4—1 про­ис­хо­дят адиа­бат­ное сжа­тие и рас­ши­ре­ние, по­это­му

На участ­ке 3—4 про­ис­хо­дит изо­хор­ное на­гре­ва­ние. Ра­бо­ту газ не со­вер­ша­ет, из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии газа равно

По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки Газ теп­ло­ту по­лу­ча­ет от на­гре­ва­те­ля.

Из урав­не­ния Кла­пей­ро­на-Мен­де­ле­е­ва и

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ко­ли­че­ство теп­ло­ты, по­лу­чен­ное от на­гре­ва­те­ля, равно ко­ли­че­ство теп­ло­ты, от­дан­ное хо­ло­диль­ни­ку, равно

Сле­до­ва­тель­но, КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля

Ответ: 20%.

За­пи­шем урав­не­ние Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва для 1 моля газа в со­сто­я­ни­ях 1 и 2: где и   — объем газа в со­сто­я­ни­ях 1 и 2 при оди­на­ко­вой тем­пе­ра­ту­ре От­сю­да сле­ду­ет, что объем газа в со­сто­я­нии 2 равен

Про­цесс 2−3  — изо­ба­ри­че­ский при дав­ле­нии по­это­му ра­бо­та газа на участ­ке 2−3 равна Со­глас­но урав­не­нию Кла­пей­ро­на-⁠Мен­де­ле­е­ва от­ку­да

Таким об­ра­зом, ра­бо­та на участ­ке 2–3 равна:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Будем обо­зна­чать все ве­ли­чи­ны бук­ва­ми с со­от­вет­ству­ю­щи­ми ин­дек­са­ми. Рас­смот­рим про­цесс 2–3: он изо­бар­ный, ра­бо­та в дан­ном про­цес­се На­пи­шем урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на для вто­ро­го и тре­тье­го со­сто­я­ний газа:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем Тогда:

1)  Газ по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство теп­ло­ты на участ­ках 1–2, 2–3 и 4–5 цикла. Для на­хож­де­ния этого ко­ли­че­ства теп­ло­ты вос­поль­зу­ем­ся вы­ра­же­ни­ем для внут­рен­ней энер­гии од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа и тем фак­том, что ра­бо­та газа в не­ко­то­ром про­цес­се чис­лен­но равна пло­ща­ди под участ­ком гра­фи­ка, изоб­ра­жа­ю­ще­го дан­ный про­цесс на pV-⁠диа­грам­ме.

2)  Пусть   — из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии при пе­ре­хо­де газа из со­сто­я­ния «n» в со­сто­я­ние «m», а   — ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая газом при пе­ре­хо­де из со­сто­я­ния «n» в со­сто­я­ние «m». В со­от­вет­ствии с пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки:

3)  Со­глас­но усло­вию за­да­чи, где m  — масса угля, сго­ра­ю­ще­го за один цикл ра­бо­ты дви­га­те­ля.

4)  При­ме­ним для со­сто­я­ния «4» урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва  — Кла­пей­ро­на:

5)  Вы­ра­жая из по­след­не­го урав­не­ния про­из­ве­де­ние по­лу­ча­ем: От­сю­да масса M угля, сго­ра­ю­ще­го за N цик­лов ра­бо­ты дви­га­те­ля, равна

Ответ:

Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки, пе­ре­дан­ное газу тепло идет на из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии и на со­вер­ше­ние ра­бо­ты про­тив внеш­них сил:

Ис­сле­ду­ем все участ­ки цикла по от­дель­но­сти. На участ­ке 1–2 газ рас­ши­ря­ет­ся, со­вер­шая по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту кроме того его тем­пе­ра­ту­ра рас­тет, а зна­чит, и сле­до­ва­тель­но, газ по­лу­ча­ет тепло.

На участ­ке 2–3 объем газа не из­ме­ня­ет­ся, дав­ле­ние, а зна­чит, и тем­пе­ра­ту­ра газа умень­ша­ют­ся. По­это­му Сле­до­ва­тель­но, газ от­да­ет тепло хо­ло­диль­ни­ку.

Уча­сток 3–1, по усло­вию, пред­став­ля­ет собой адиа­ба­ту, на этом участ­ке газ не об­ме­ни­ва­ет­ся теп­лом с окру­жа­ю­щей сре­дой. Таким об­ра­зом, все тепло, по­лу­ча­е­мое газом за цикл, пе­ре­да­ет­ся ему на участ­ке 1–2, а все тепло, от­да­ва­е­мое им за цикл, от­да­ет­ся на участ­ке 2–3.

При­ме­ним пер­вое на­ча­ло к участ­ку 1–2: Ра­бо­те газа на диа­грам­ме со­от­вет­ству­ет пло­щадь под гра­фи­ком про­цес­са: Ис­поль­зуя урав­не­ние Кла­пе­рой­на  — Мен­де­ле­е­ва для из­ме­не­ния внут­рен­ней энер­гии на участ­ке 1–2 имеем:

При­ме­ним те­перь пер­вое на­ча­ло ко всему про­цес­су в целом. Так как он пред­став­ля­ет собой за­мкну­тый цикл, то из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии за весь про­цесс равно нулю. Ра­бо­ту газа за цикл можно найти как раз­ность работ на участ­ках 1–2 и 3–1:

Ответ: 370 Дж.

Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки где из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа в про­цес­се Ра­бо­та газа в дан­ном про­цес­се равна пло­ща­ди тра­пе­ции: Со­глас­но урав­не­нию со­сто­я­ния иде­аль­но­го газа, то есть урав­не­нию Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва, не­из­вест­ное дав­ле­ние

Таким об­ра­зом:

и окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

КПД цикла рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле где   — по­лез­ная ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая теп­ло­вой ма­ши­ной за цикл, Q  — ко­ли­че­ство теп­ло­ты, пе­ре­дан­ное теп­ло­вой ма­ши­не за весь цикл. Будем обо­зна­чать ра­бо­ту, теп­ло­ту и из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии ра­бо­че­го тела на каж­дом участ­ке со­от­вет­ствен­но бук­ва­ми и с со­от­вет­ству­ю­щи­ми ин­дек­са­ми. Также за­ме­тим, что раз­ность от­ри­ца­тель­на, по­это­му

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­но каж­дый про­цесс.

Про­цесс 1–2: изо­тер­ма Тогда:

Про­цесс 2−3: изо­хо­ра Тогда от­ку­да:

Про­цесс 3–1: адиа­ба­та Тогда от­ку­да:

По­лез­ная ра­бо­та равна сумме работ на всех участ­ках: Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, пе­ре­дан­ное теп­ло­вой ма­ши­не в цикле, равно сумме всех по­ло­жи­тель­ных теп­лот: По­это­му КПД теп­ло­вой ма­ши­ны будет:

Ответ:

Про­цесс 1−2  — изо­хор­ное охла­жде­ние. По­это­му от­ку­да

Про­цессс 2–3  — изо­бар­ное на­гре­ва­ние. По за­ко­ну Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва По пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки теп­ло­та, по­лу­чен­ная газом, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Здесь i  — ко­ли­че­ство сте­пе­ней сво­бо­ды газа, для двух­атом­но­го газа Под­став­ляя зна­че­ния, по­лу­ча­ем:

Ответ: 58 170 Дж.

При изо­бар­ном рас­ши­ре­нии на участ­ке 1–2 газ по­лу­ча­ет от на­гре­ва­те­ля ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₁₂, а на участ­ке 3–4 от­да­ет хо­ло­диль­ни­ку в изо­хор­ном про­цес­се ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₃₄. На дру­гих участ­ках теп­ло­об­мен от­сут­ству­ет. В со­от­вет­ствии с пер­вым на­ча­лом тер­мо­ди­на­ми­ки ра­бо­та газа за цикл А равна раз­но­сти ко­ли­че­ства теп­ло­ты, по­лу­чен­ной от на­гре­ва­те­ля и от­дан­ной хо­ло­диль­ни­ку A  =  Q₁₂ − Q₃₄, а КПД теп­ло­во­го дви­га­те­ля:

Ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₁₂, по­лу­чен­ное при изо­бар­ном рас­ши­ре­нии на участ­ке 1–2, равно сумме уве­ли­че­ния внут­рен­ней энер­гии газа при уве­ли­че­нии его тем­пе­ра­ту­ры и ра­бо­ты газа этом участ­ке: Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂. Внут­рен­няя энер­гия иде­аль­но­го газа про­пор­ци­о­наль­на аб­со­лют­ной тем­пе­ра­ту­ре, и для 1 моль од­но­атом­но­го газа а ее из­ме­не­ние:

Ра­бо­та газа при изо­бар­ном рас­ши­ре­нии A₁₂  =  p₁(V₂ − V₁). Вы­ра­жая ее через из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры с по­мо­щью урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва по­лу­чим:

От­сю­да: Ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q₃₄, от­дан­ное при изо­хор­ном охла­жде­нии на участ­ке 3–4, равно умень­ше­нию внут­рен­ней энер­гии газа этом участ­ке:

В итоге по­лу­чим: От­сю­да на­хо­дим:

Ответ:

Для опре­де­ле­ния ко­ли­че­ства теп­ло­ты Q₁₂₃ не­об­хо­ди­мо сло­жить ко­ли­че­ства теп­ло­ты, со­об­щен­ные газу на участ­ках 1–2 и 2–3: Q₁₂₃  =  Q₁₂ + Q₂₃.

Ис­хо­дя из при­ве­ден­но­го гра­фи­ка, можно сде­лать вывод, что про­цесс 1–2 яв­ля­ет­ся изо­хор­ным. Для него, как сле­ду­ет из урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва, от­ку­да Сле­до­ва­тель­но:

Ра­бо­та газа в про­цес­се 1–2 равна нулю, и для него пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки с уче­том вы­ра­же­ния для внут­рен­ней энер­гии од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа при­ни­ма­ет вид:

Про­цесс 2–3 яв­ля­ет­ся изо­бар­ным с дав­ле­ни­ем p  =  p₂  =  const, для него пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки при­ни­ма­ет вид: где   — из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии газа,   — со­вер­шен­ная газом ра­бо­та. Из урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва сле­ду­ет, что:

Таким об­ра­зом:

В ре­зуль­та­те:

Ответ: 10 кДж.

Из гра­фи­ка сле­ду­ет, что 1–2  — изо­хор­ный, а 2–3  — изо­бар­ный про­цесс, при­чем тем­пе­ра­ту­ра газа в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях оди­на­ко­ва. Со­глас­но пер­во­му за­ко­ну тер­мо­ди­на­ми­ки сум­мар­ная теп­ло­та Q₁₂₃, от­дан­ная и по­лу­чен­ная газом в про­цес­се 1–2–3, равна сумме из­ме­не­ния ΔU₁₂₃ внут­рен­ней энер­гии газа и его ра­бо­ты A₁₂₃ в про­цес­се: Q₁₂₃ = ΔU₁₂₃ + A₁₂₃. По­сколь­ку внут­рен­няя энер­гия молей од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа равна и про­пор­ци­о­наль­на тем­пе­ра­ту­ре, то в про­цес­се 1–2–3 с оди­на­ко­вой на­чаль­ной и ко­неч­ной тем­пе­ра­ту­рой ее сум­мар­ное из­ме­не­ние ΔU₁₂₃  =  0.

В изо­хор­ном про­цес­се 1–2 V  =  const, и A₁₂  =  0, а в изо­бар­ном про­цес­се 2–3 p  =  const, и с уче­том урав­не­ния Кла­пей­ро­на  — Мен­де­ле­е­ва имеем:

Таким об­ра­зом:

Ответ: 12500 Дж.

КПД цикла равен Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу тер­мо­ди­на­ми­ки где (од­но­атом­ный газ).

В изо­бар­ном про­цес­се 1–2 газ по­лу­ча­ет тепло, а его ра­бо­та равна по­это­му:

В изо­хор­ном про­цес­се 3–4 газ от­да­ет тепло, а его ра­бо­та равна нулю, по­это­му:

С уче­том по­лу­ча­ем:

Ответ: 50%.